Question

11．如图1，点O在线段AB上，AO=4，OB=2，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做运动，设运动时间为t秒．

（1）当t=1秒时，则OP=2，S_△ABP=3$\sqrt{3}$；
（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求AQ•BP的值．

Answer 1

分析 （1）如答图1所示，作辅助线，利用三角函数或勾股定理求解；
（2）当△ABP是直角三角形时，有三种情形，需要分类讨论；
（3）如答图4所示，作辅助线，构造一对相似三角形△OAQ∽△PBO，利用相似关系证明结论．

解答 解：（1）当t=1秒时，OP=2t=2×1=2．
如答图1，过点P作PD⊥AB于点D．

在Rt△POD中，PD=OP•sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•PD=$\frac{1}{2}$×（4+2）×$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$．

（2）当△ABP是直角三角形时，
①若∠A=90°．
∵∠BOC=60°且∠BOC＞∠A，
∴∠A≠90°，故此种情形不存在；
②若∠B=90°，如答图2所示：

∵∠BOC=60°，
∴∠BPO=30°，
∴OP=2OB=4，又OP=2t，
∴t=2；
③若∠APB=90°，如答图3所示：

过点P作PD⊥AB于点D，则OD=OP•sin30°=t，PD=OP•sin60°=$\sqrt{3}$t，
∴AD=OA+OD=4+t，BD=OB-OD=2-t．
在Rt△ABP中，由勾股定理得：PA²+PB²=AB²
∴（AD²+PD²）+（BD²+PD²）=AB²，
即[（4+t）²+（$\sqrt{3}$t）²]+[（2-t）²+（$\sqrt{3}$t）²]=6²，
解方程得：t=$\frac{-1+\sqrt{33}}{4}$或t=$\frac{-1-\sqrt{33}}{4}$（负值舍去），
∴t=$\frac{-1+\sqrt{33}}{4}$．
综上所述，当△ABP是直角三角形时，t=2或t=$\frac{-1+\sqrt{33}}{4}$．

（3）如答图4，过点O作OE∥AP，交PB于点E，

则有$\frac{BE}{PE}$=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
∴PE=$\frac{2}{3}$PB．
∵AP=AB，
∴∠APB=∠B，
∵OE∥AP，
∴∠OEB=∠APB，
∴∠OEB=∠B，
∴OE=OB=2，∠3+∠B=180°．
∵AQ∥PB，
∴∠OAQ+∠B=180°，
∴∠OAQ=∠3；
∵∠AOP=∠1+∠QOP=∠2+∠B，∠QOP=∠B，
∴∠1=∠2；
∴△OAQ∽△PEO，
∴$\frac{AQ}{OE}$=$\frac{OA}{PE}$，即$\frac{AQ}{2}$=$\frac{4}{\frac{2}{3}PB}$，
化简得：AQ•PB=12．

点评 本题是运动型综合题，考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、一元二次方程等多个知识点．第（2）问中，解题关键在于分类讨论思想的运用；第（3）问中，解题关键是构造相似三角形，本问有多种解法，可探究尝试．