Question

【题目】如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．

（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；

（2）如图2，直线l：y＝kx经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣4x，顶点为：G（﹣2，4）；（2）－3；（3）存在，点P的横坐标为：或

【解析】

(1)运用待定系数法将A(﹣4，0)、B(﹣1，3)代入y=ax2+bx中，即可求得a和b的值和抛物线C解析式，再利用配方法将抛物线C解析式化为顶点式即可求得顶点G的坐标；

(2)根据抛物线C绕点O旋转180°，可求得新抛物线C′的解析式，再将A(﹣4，0)代入y=kx中，即可求得直线l解析式，根据对称性可得点E坐标，过点D作DF⊥x轴于F，过M作MR⊥x轴于R，由DE=2EM，建立方程求解即可；

(3)连接BG，易证△ABG是Rt△，∠ABG=90°，可得tan∠DEP=tan∠GAB，在x轴下方过点O作OH⊥OE，在OH上截取OHOE，过点E作ET⊥y轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点；通过建立方程组求解即可．

(1)将A(﹣4，0)、B(﹣1，3)代入y=ax2+bx中，得，

解得，

∴抛物线C解析式为：y=﹣x2﹣4x，

配方，得：y=﹣x2﹣4x=﹣(x+2)2+4，

∴顶点为：G(﹣2，4)；

(2)∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．

∴新抛物线C′的顶点为：G′(2，﹣4)，二次项系数为：a′=1，

∴新抛物线C′的解析式为：y=(x﹣2)2﹣4=x2﹣4x，

将A(﹣4，0)代入y=kx中，得0=﹣4k，解得k，

∴直线l解析式为yx，

设D(m，﹣m2﹣4m)，

∵D、E关于原点O对称，

∴OD=OE，

∵DE=2EM，

∴OM=2OD，

过点D作DF⊥x轴于F，过M作MR⊥x轴于R，

∴∠OFD=∠ORM，

∵∠DOF=∠MOR，

∴△ODF∽△OMR，

∴2，

∴OR=2OF，RM=2DF，

∴M(﹣2m，2m2+8m) ，

将M(﹣2m，2m2+8m)代入直线l解析式yx，

∴2m2+8m(﹣2m)，

解得：m1=﹣3，m2，

∵m＜﹣2

∴m的值为：﹣3；

(3)由(2)知：m=﹣3，

∴D(﹣3，3)，E(3，﹣3)，OE=3，

如图3，连接BG，

在△ABG中，

∵AB2=(﹣1+4)2+(3﹣0)2=18，

BG2=(﹣1+2)2+(3﹣4)2=2，

AG2=(﹣4+2)2+(0﹣4)2=20，

∴AB2+BG2=AG2，

∴△ABG是直角三角形，∠ABG=90°，

∴tan∠GAB，

∵∠DEP=∠GAB，

∴tan∠DEP=tan∠GAB，

在x轴下方过点O作OH⊥OE，在OH上截取OHOE，

过点E作ET⊥y轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点；

∵E(span>3，﹣3)，

∴∠EOT=45°，

∵∠EOH=90°，

∴∠HOT=45°，

过点H作HN⊥y轴于N，

∵OH，∠HOT=45°，

∴HN=NO=1，

∴H(﹣1，﹣1)，设直线EH解析式为y=px+q，

则，解得，

∴直线EH解析式为yx，

解方程组，

得，，

∴点P的横坐标为：或．