Question

18．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y=-$\frac{1}{2}$x+3交AB，BC于点M，N，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点M，N．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出OA=BC=2，将y=2代入y=-$\frac{1}{2}$x+3求出x=2，得出M的坐标，把M的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案；
（2）求出四边形BMON的面积，求出OP的值，即可求出P的坐标．

解答 解：（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，
∴OA=BC=2，
将y=2代入y=-$\frac{1}{2}$x+3得：x=2，
∴M（2，2），
把M的坐标代入y=$\frac{k}{x}$得：k=4，
∴反比例函数的解析式是y=$\frac{4}{x}$；
（2）把x=4代入y=$\frac{4}{x}$得：y=1，即CN=1，
∵S_{四边形BMON}=S_矩形OABC-S_△AOM-S_△CON
=4×2-$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$×4×1=4，
由题意得：$\frac{1}{2}$|OP|×AO=4，
∵AO=2，
∴|OP|=4，
∴点P的坐标是（4，0）或（-4，0）．

点评 本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，矩形的性质等知识点的应用，主要考查学生应用性质进行计算的能力，题目比较好，难度适中