Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1分别与两坐标轴交于B，A两点，C为该直线上的一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动，作等边△CDE，点D和点E都在x轴上，以点C为顶点的抛物线y=a（x﹣m）²+n经过点E．⊙M与x轴、直线AB都相切，其半径为3（1﹣）a．
（1）求点A的坐标和∠ABO的度数；
（2）当点C与点A重合时，求a的值；
（3）点C移动多少秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切？

Answer 1

解：（1）当x=0时，y=1；当y=0时，x=﹣，
∴OA=1，OB=。
∴A的坐标是（0，1）。
∴tan∠ABO=
∴∠ABO=30°。
（2）∵△CDE为等边三角形，点A（0，1），
∴tan30 °=，
∴OD=。
∴D的坐标是（﹣，0），
E的坐标是（，0），
把点A（0，1），D（﹣，0），E（，0）代入 y=a（x﹣m）²+n，得


（3）如图，设切点分别是Q，N，P，连接MQ，MN，MP，ME，过点C作CH⊥x轴，H为垂足，过A作AF⊥CH，F为垂足。
∵△CDE是等边三角形，∠ABO=30 °，
∴∠BCE=90 °，∠ECN=90 °。
∵CE，AB分别与⊙M相切，
∴∠MPC=∠CNM=90 °。
∴四边形MPCN为矩形。
∵MP=MN，
∴四边形MPCN为正方形。
∴MP=MN=CP=CN=3（1﹣）a（a＜0）。
∵EC和x轴都与⊙M相切，
∴EP=EQ。
∵∠NBQ+∠NMQ=180°，
∴∠PMQ=60°。
∴∠EMQ，=30°。
∴在Rt△MEP中，tan30°=，
∴PE=（﹣3）a。
∴CE=CP+PE=3（1﹣）a+（﹣3）a=﹣2a。
∴DH=HE=﹣a，CH=﹣3a，BH=﹣3a。
∴OH=﹣3a﹣，OE=﹣4a﹣。
∴E（﹣4a﹣，0），C（﹣3a﹣，﹣3a）。
设二次函数的解析式为：y=a（x+3a+）²﹣3a，
∵E在该抛物线上，∴a（﹣4a﹣+3a+）²﹣3a=0，
得：a²=1，解之得a₁=1，a₂=﹣1。
∵a＜0，∴a=﹣1。
∴AF=2，CF=2，
∴AC=4。
∴点C移动到4秒时，等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切。