Question

【题目】如图1所示，已知抛物线的顶点为D，与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，E为对称轴上的一点，连接CE，将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在y轴上．

（1）直接写出D点和E点的坐标；

（2）点F为直线C′E与已知抛物线的一个交点，点H是抛物线上C与F之间的一个动点，若过点H作直线HG与y轴平行，且与直线C′E交于点G，设点H的横坐标为m（0＜m＜4），那么当m为何值时，=5：6？

（3）图2所示的抛物线是由向右平移1个单位后得到的，点T（5，y）在抛物线上，点P是抛物线上O与T之间的任意一点，在线段OT上是否存在一点Q，使△PQT是等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（2，9），E（2，3）；（2），；（3）（1，1）或（3，3）或（2，2）．

【解析】

试题（1）把抛物线配方，即可得到顶点为D的坐标，然后设点E的坐标是（2，m），点C′的坐标是（0，n），根据△CEC′是等腰直角三角形，求出E点的坐标；

（2）令抛物线的y=0，可求得A、B的坐标，然后再根据=5：6，得到：，然后再证明△HGM∽△ABN，，从而可证得，所以HG=5，设点H（m，﹣m2+4m+5），G（m，m+1），最后根据HG=5，列出关于m的方程求解即可；

（3）分别根据∠P、∠Q、∠T为直角画出图形，然后利用等腰直角三角形的性质和一次函数的图象的性质求得点Q的坐标即可．

试题解析：（1）∵抛物线=，∴D点的坐标是（2，9），∵E为对称轴上的一点，∴点E的横坐标是2，设点E的坐标是（2，m），点C′的坐标是（0，n），∵将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在y轴上，∴△CEC′是等腰直角三角形，∴，解得：或（舍去），∴点E的坐标是（2，3），点C′的坐标是（0，1）．

综上，可得D点的坐标是（2，9），点E的坐标是（2，3）．

（2）如图1所示：

令抛物线的y=0得：，解得：，，所以点A（﹣1，0），B（5，0）．设直线C′E的解析式是，将E（2，3），C′（0，1），代入得，解得：，∴直线C′E的解析式为，联立得：，解得：，或，∴点F得坐标为（4，5），点A（﹣1，0）在直线C′E上．∵直线C′E的解析式为，∴∠FAB=45°．过点B、H分别作BN⊥AF、HM⊥AF，垂足分别为N、M．∴∠HMN=90°，∠ADN=90°，又∵∠NAD=∠HNM=45°，∴△HGM∽△ABN，∴，∵=5：6，∴．∴，即，∴HG=5．设点H的横坐标为m，则点H的纵坐标为，则点G的坐标为（m，m+1），∴．解得：，；

（3）由平移的规律可知：平移后抛物线的解析式为=．将x=5代入得：y=5，∴点T的坐标为（5，5）．设直线OT的解析式为，将x=5，y=5代入得；k=1，∴直线OT的解析式为，

①如图2所示：当PT∥x轴时，△PTQ为等腰直角三角形，

将y=5代入抛物线得：，解得：，．∴点P的坐标为（1，5）．将x=1代入得：y=1，∴点Q的坐标为（1，1）；

②如图3所示：

由①可知：点P的坐标为（1，5）．∵△PTQ为等腰直角三角形，∴点Q的横坐标为3，将x=3代入得；y=3，∴点Q得坐标为（3，3）；

③如图4所示：

设直线PT解析式为，∵直线PT⊥QT，∴k=﹣1，将k=﹣1，x=5，y=5代入得：b=10，∴直线PT的解析式为．联立得：，解得：，，∴点P的横坐标为2，将x=2代入得，y=2，∴点Q的坐标为（2，2）．

综上所述：点Q的坐标为（1，1）或（3，3）或（2，2）．