Question

【题目】在正方形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD＝2AP，则AP的长为_____．

Answer 1

【答案】2，2或

【解析】

根据正方形的性质得出AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=90°，根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD，画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可．

解：∵四边形ABCD是正方形，AB=6，

∴AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=∠DAB=90°，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：，

.

有6种情况：①点P在AD上时，

∵AD=6，PD=2AP，

∴AP=2；

②点P在AC上时，

设AP=x，则DP=2x，

在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2=DO2+OP2，

,

解得：（负数舍去），

即AP=；

③点P在AB上时，

设AP=y，则DP=2y，

在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2=DP2，

y2+62=（2y）2，

解得：y=2（负数舍去），

即AP=2；

④当P在BC上，设BP=x，

∵DP=2AP，

即x2+6x+24=0，

△=62-4×1×24＜0，此方程无解，

即当点P在BC上时，不能使DP=2AP；

⑤P在DC上，

∵∠ADC=90°，

∴AP＞DP，不能DP=2AP，

即当P在DC上时，不能具备DP=2AP；

⑥P在BD上时，

过P作PN⊥AD于N，过P作PM⊥AB于M，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAB=∠ANP=∠AMP=90°，

∴四边形ANPM是矩形，

∴AM=PN，AN=PM，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABD=45°，

∵∠PMB=90°，

∴∠MBP=∠MPB=45°，

∴BM=PM=AN，

同理DN=PN=AM，

设PM=BM=AN=x，则PN=DN=AM=6-x，

都不能DP=2AP，

∵DP=2AP，

∴由勾股定理得：，

即x2-4x+12=0，

△=（-4）2-4×1×12＜0，此方程无解，

即当P在BD上时，不能DP=2AP，

故答案为2或2或.