Question

【题目】（1）探究：

问题：如图1，等边三角形ABC的边长为6，点O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，∠FOG＝120°，绕点O任意旋转∠FOG，分别交△ABC的两边于D，E两点求四边形ODBE的面积．

讨论：

①甲：在∠FOG旋转过程中，当OF经过点B时，OG一定经过点C．

②乙：小明的分析有道理，这样，我们就可以利用“ASA”证出△ODB≌△OEC．

③丙：因为△ODB≌△OEC，所以只要算出△OBC的面积就得出了四边形ODBE的面积．

老师：同学们的思路很清晰，也很正确，在分析和解决问题时，我们经常会借用特例作辅助线来解决一般问题请你按照探究的思路，直接写出四边形ODBE的面积：________．

（2）应用：

①特例：如图2，∠FOG的顶点O在等边三角形ABC的边BC上，OB＝2，OC＝4，边OG⊥AC于点E，OF⊥AB于点D，求△BOD面积．

②探究：如图3，已知∠FOG＝60°，顶点O在等边三角形ABC的边BC上，OB＝2，OC＝4，记△BOD的面积为x，△COE的面积为y，求xy的值．

Answer 1

【答案】探究：3；应用：①；②12.

【解析】

（1）（1）由“ASA”可证△DOB≌△EOC，可得S△DOB=S△EOC，可得S△OBC=四边形ODBE的面积，即可求解；

（2）①由直角三角形的性质可求OD，BD的长，即可求解；
②过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，可求OM=，ON=2，通过证明△BDO∽△COE，可得=，可得BDEC=OBOC=8，即可求解；

解：（1）方法引导：

如图1，连接OB，OC，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，

∵点O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，

∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，

∴OB＝OC，∠BOC＝∠FOG＝120°，

∴∠DOB＝∠COE，且OB＝OC，∠ABO＝∠BCO，

∴△DOB≌△EOC（ASA）

∴S△DOB＝S△EOC，

∴S△OBC＝四边形ODBE的面积，

∵等边三角形ABC的边长为6，

∴S△ABC＝×62＝9，

∴S△OBC＝四边形ODBE的面积＝S△ABC＝3，

故答案为：3；

（2）①∵△ABC是等边三角形，∠B＝60°，

∵OF⊥AB，

∴∠BOD＝30°，

∵OB＝2，

∴BD＝1，

∴OD＝，

∴△BOD的面积＝×1×＝；

②过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，

由①得：OM＝，同理：ON＝2，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠C＝60°，

∵∠DOC＝∠B+∠BDO＝∠DOG+∠COG，且∠FOG＝60°，

∴∠COG＝∠BDO，且∠B＝∠C＝60°，

∴△BDO∽△COE，

∴=,

∴BDEC＝OBOC＝8，

∴xy＝×BD×××CE×2＝12；