Question

【题目】如图，AB是⊙Ｏ的直径，C、G是⊙Ｏ上两点，且,过点C的直线CDBG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F.

（1）求证：CD是⊙Ｏ的切线.

（2）若,求E的度数.

（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=，求AD的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）∠E=30°；（3）AD=.

【解析】

试题（1）如图1，连接OC，AC，CG，由圆周角定理得到∠ABC=∠CBG，根据同圆的半径相等得到OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠OCB=∠CBG，根据平行线的判定得到OC∥BG，即可得到结论；（2）由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到，，根据直角三角形的性质即可得到结论；（3）如图2，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD=3，DE=3，BE=6，在Rt△DAH中，AD===．

试题解析：（1）证明：如图1，连接OC，AC，CG，

∵AC=CG，∴，∴∠ABC=∠CBG，

∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB=∠CBG，∴OC∥BG，

∵CD⊥BG，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵OC∥BD，∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，

∴，∴，

∵OA=OB，∴AE=OA=OB，∴OC=OE，

∵∠ECO=90°，∴∠E=30°；

（3）解：如图2，过A作AH⊥DE于H，

∵∠E=30°∴∠EBD=60°，∴∠CBD=EBD=30°，

∵CD=，∴BD=3，DE=3，BE=6，∴AE=BE=2，

∴AH=1，∴EH=，∴DH=2，

在Rt△DAH中，AD===．

故答案为（1）证明见解析；（2）∠E=30°；（3）AD=.