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【题目】已知:正方形ABCD,等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处,使三角板绕点D旋转.

1)当三角板旋转到图1的位置时,猜想CEAF的数量关系,并加以证明;

2)在(1)的条件下,若DEAECE13,求∠AED的度数;

3)若BC4,点M是边AB的中点,连结DMDMAC交于点O,当三角板的边DF与边DM重合时(如图2),若OF,求DFDN的长.

【答案】1CEAF,见解析;(2)∠AED135°;(3.

【解析】

1)由正方形和等腰直角三角形的性质判断出△ADF≌△CDE即可;
2)设DE=k,表示出AECEEF,判断出△AEF为直角三角形,即可求出∠AED
3)由ABCD,得出,求出DMDO,再判断出△DFN∽△DCO,得到,求出DNDF即可.

解:(1CEAF

在正方形ABCD和等腰直角三角形CEF中,FDDECDAD∠ADC∠EDF90°

∴∠ADF∠CDE

∴△ADF≌△CDESAS),

∴CEAF

2)设DEk

∵DEAECE13

∴AEkCEAF3k

∴EFk

∵AE2+EF27k2+2k29k2AF29k2

AE2+EF2AF2

∴△AEF为直角三角形,

∴∠AEF90°

∴∠AED∠AEF+DEF90°+45°135°

3∵MAB的中点,

∴MAABAD

∵AB∥CD

∴△MAO∽△DCO

Rt△DAM中,AD4AM2

∴DM2

∴DO

∵OF

∴DF

∵∠DFN∠DCO45°∠FDN∠CDO

∴△DFN∽△DCO

,即

∴DN

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