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【题目】如图,抛物线y=ax2+3x+ca0)与x轴交于点A和点B(点A在原点的左侧,点B在原点的右侧),与y轴交于点COB=OC=4
1)求该抛物线的函数解析式.
2)如图1,连接BC,点D是直线BC上方抛物线上的点,连接ODCDODBC于点F,当SCOFSCDF=43时,求点D的坐标.
3)如图2,点E的坐标为(0-2),点P是抛物线上的点,连接EBPBPE形成的△PBE中,是否存在点P,使∠PBE或∠PEB等于2OBE?若存在,请直接写出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1;(2D的坐标为(16)或(34);(3)()、()、(-)、(-).

【解析】

1)先根据OB=OC=4.可求得点BC的坐标,代入y=ax2+3x+c即可求得抛物线解析式;
2)先运用待定系数法求直线BC解析式,再根据SCOFSCDF=43,可求得点DF的横坐标数量关系,根据点F在直线BC上即可表示点F坐标,再运用待定系数法求得直线OF解析式,根据点D在直线OF上即可表示出D的坐标,代入抛物线解析式即可求得点D的坐标;
3)分四种情况:①当∠PEB=2OBE,且点Px轴上方时,先要构造∠EFO=2OBE,可得tanOFE=,再利用解直角三角形知识和解方程组即可求得点P坐标;②当∠PEB=2OBE,且点Px轴下方时,③当∠PBE=2OBE,且点Px轴上方时,④当∠PBE=2OBE,且点Px轴下方时;方法相似.

解:(1)∵OB=OC=4
B40),C04),


B40),C04)代入y=ax2+3x+c,得,解得
∴抛物线的函数解析式为y=-x2+3x+4
2)如图1,设直线BC解析式为y=kx+b,则 ,解得
∴直线BC解析式为y=-x+4
令点DF的横坐标分别为xDxF
SCOFSCDF=43
SCOF=SCOD,即OCxF=×OCxD
xD=xF
设点D横坐标为7t,点F横坐标为4t,∵点F在直线BC上,
F4t4-4t),
设直线OF解析式为y=k′x,则4-4t=4tk′
k′=
∴直线OF解析式为y=x
∵点D在直线OF上,
D7t7-7t),
D7t7-7t)代入y=-x2+3x+4中,得7-7t=-7t2+3×7t+4,解得:t1=t2=


D的坐标为(16)或(34);
3)①当∠PEB=2OBE,且点Px轴上方时,如图2,作BE的垂直平分线交OBF,连接EF
在∠BEO内部作射线EPx轴于G,交抛物线于P,使∠PEB=EFO
过点GGHBEH,则BF=EF,设BF=EF=m
OF=OB-BF=4-m
RtOEF中,∠EOF=90°,∵OE2+OF2=EF2
22+4-m2=m2,解得:m=
BF=EF=OF=4-=
tanOBE=tanOFE=
BF=EF
∴∠BEF=OBE
∵∠OFE=BEF+OBE
∴∠OFE=2OBE
∵∠PEB=2OBE
∴∠PEB=OFE
tanPEB=,设GH=4a,则EH=3a
BE=BH=2-3a
=tan∠∠OBE=
,解得:a=
GH= BH=
BG=
OG=OB-BG=4-=
G0),
设直线EG解析式为y=k″x+b″,则 ,解得
∴直线EG解析式为y=x-2
联立方程组 ,解得: (舍去),


P),
②当∠PEB=2OBE,且点Px轴下方时,如图3,过点EEFy轴,作点B关于直线EF的对称点G,连接BGEFF
射线EG交抛物线于点P
E0-2),
∴直线EF为:y=-2
B40),
G4-4
∴直线EG解析式为y=-x-2
解方程组,得 (不符合题意,舍去),
P );
③当∠PBE=2OBE,且点Px轴上方时,如图4

y轴正半轴上截取OF=OE=2,作射线BF交抛物线于P
在△BOE和△BOF中,
∴△BOE≌△BOFSAS
∴∠PBO=OBE
∴∠PBE=2OBE
易求得直线PF解析式为y=-x+2
联立方程组 ,解得 (不符合题意,舍去),
P-);
④当∠PBE=2OBE,且点Px轴下方时,如图5

过点EEFBE交直线BPF,过FFGy轴于G
由①知:tanPBE= BE=2
EF=
∵∠EGF=BOE=BEF=90°
∴∠BEO+FEG=BEO+OBE=90°
∴∠FEG=OBE
∴△EFG∽△BEO
,即
FG=EG=
OG=OE+EG=2+=
F-
易求得直线BF解析式为y=x-22
联立方程组 ,解得(舍去),
P-);
综上所述,符合条件的点P的坐标为:()、()、(-)、(-).

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