【题目】如图,抛物线y=ax2+3x+c(a<0)与x轴交于点A和点B(点A在原点的左侧,点B在原点的右侧),与y轴交于点C,OB=OC=4.
(1)求该抛物线的函数解析式.
(2)如图1,连接BC,点D是直线BC上方抛物线上的点,连接OD,CD.OD交BC于点F,当S△COF:S△CDF=4:3时,求点D的坐标.
(3)如图2,点E的坐标为(0,-2),点P是抛物线上的点,连接EB,PB,PE形成的△PBE中,是否存在点P,使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE?若存在,请直接写出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)D的坐标为(1,6)或(3,4);(3)()、()、(-)、(-).
【解析】
(1)先根据OB=OC=4.可求得点B、C的坐标,代入y=ax2+3x+c即可求得抛物线解析式;
(2)先运用待定系数法求直线BC解析式,再根据S△COF:S△CDF=4:3,可求得点D、F的横坐标数量关系,根据点F在直线BC上即可表示点F坐标,再运用待定系数法求得直线OF解析式,根据点D在直线OF上即可表示出D的坐标,代入抛物线解析式即可求得点D的坐标;
(3)分四种情况:①当∠PEB=2∠OBE,且点P在x轴上方时,先要构造∠EFO=2∠OBE,可得tan∠OFE=,再利用解直角三角形知识和解方程组即可求得点P坐标;②当∠PEB=2∠OBE,且点P在x轴下方时,③当∠PBE=2∠OBE,且点P在x轴上方时,④当∠PBE=2∠OBE,且点P在x轴下方时;方法相似.
解:(1)∵OB=OC=4,
∴B(4,0),C(0,4),
把B(4,0),C(0,4)代入y=ax2+3x+c,得,解得
∴抛物线的函数解析式为y=-x2+3x+4;
(2)如图1,设直线BC解析式为y=kx+b,则 ,解得
∴直线BC解析式为y=-x+4,
令点D、F的横坐标分别为xD,xF,
∵S△COF:S△CDF=4:3,
∴S△COF=S△COD,即OCxF=×OCxD,
∴xD=xF,
设点
∴F(4t,4-4t),
设直线OF解析式为y=k′x,则4-4t=4tk′,
∴k′=,
∴直线OF解析式为y=x,
∵点D在直线OF上,
∴D(7t,7-7t),
将D(7t,7-7t)代入y=-x2+3x+4中,得7-7t=-(7t)2+3×7t+4,解得:t1=,t2=,
∴D的坐标为(1,6)或(3,4);
(3)①当∠PEB=2∠OBE,且点P在x轴上方时,如图2,作BE的垂直平分线交OB于F,连接EF,
在∠BEO内部作射线EP交x轴于G,交抛物线于P,使∠PEB=∠EFO,
过点G作GH⊥BE于H,则BF=EF,设BF=EF=m,
∴OF=OB-BF=4-m
在Rt△OEF中,∠EOF=90°,∵OE2+OF2=EF2
∴22+(4-m)2=m2,解得:m=,
∴BF=EF=,OF=4-=,
∴tan∠OBE=,tan∠OFE= ,
∵BF=EF
∴∠BEF=∠OBE
∵∠OFE=∠BEF+∠OBE
∴∠OFE=2∠OBE
∵∠PEB=2∠OBE
∴∠PEB=∠OFE
∴tan∠PEB=,设GH=4a,则EH=3a,
∴BE=,BH=2-3a
∵=tan∠∠OBE=,
∴ ,解得:a= ,
∴GH= ,BH=
∴BG=
∴OG=OB-BG=4-=,
∴G(,0),
设直线EG解析式为y=k″x+b″,则 ,解得,
∴直线EG解析式为y=x-2,
联立方程组 ,解得: (舍去),,
∴P(),
②当∠PEB=2∠OBE,且点P在x轴下方时,如图3,过点E作EF⊥y轴,作点B关于直线EF的对称点G,连接BG交EF于F,
射线EG交抛物线于点P,
∵E(0,-2),
∴直线EF为:y=-2
∵B(4,0),
∴G(4,-4)
∴直线EG解析式为y=-x-2,
解方程组,得 , (不符合题意,舍去),
∴P( );
③当∠PBE=2∠OBE,且点P在x轴上方时,如图4,
在y轴正半轴上截取OF=OE=2,作射线BF交抛物线于P,
在△BOE和△BOF中,
∴△BOE≌△BOF(SAS)
∴∠PBO=∠OBE
∴∠PBE=2∠OBE
易求得直线PF解析式为y=-x+2,
联立方程组 ,解得 (不符合题意,舍去), ,
∴P(-);
④当∠PBE=2∠OBE,且点P在x轴下方时,如图5,
过点E作EF⊥BE交直线BP于F,过F作FG⊥y轴于G,
由①知:tan∠PBE= ,BE=2
∴EF=
∵∠EGF=∠BOE=∠BEF=90°
∴∠BEO+∠FEG=∠BEO+OBE=90°
∴∠FEG=∠OBE
∴△EFG∽△BEO
∴ ,即
∴FG=,EG=
∴OG=OE+EG=2+=
∴F(,-)
易求得直线BF解析式为y=x-22,
联立方程组 ,解得(舍去), ,
∴P(-);
综上所述,符合条件的点P的坐标为:()、()、(-)、(-).
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【题目】如图所示,为测量河岸两灯塔,之间的距离,小明在河对岸处测得灯塔在北偏东方向上,灯塔在东北方向上,小明沿河岸向东行走100米至处,测得此时灯塔在北偏西方向上,已知河两岸.
(1)求观测点到灯塔的距离;
(2)求灯塔,之间的距离.
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【题目】如图反映了甲、乙两名自行车爱好者同时骑车从地到地进行训练时行驶路程(千米)和行驶时间(小时)之间关系的部分图像,根据图像提供的信息,解答下列问题:
(1)求乙的行驶路程和行驶时间之间的函数解析式;
(2)如果甲的速度一直保持不变,乙在骑行小时之后又以第小时的速度骑行,结果两人同时到达地,求、两地之间的距离.
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【题目】已知:正方形ABCD,等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处,使三角板绕点D旋转.
(1)当三角板旋转到图1的位置时,猜想CE与AF的数量关系,并加以证明;
(2)在(1)的条件下,若DE:AE:CE=1::3,求∠AED的度数;
(3)若BC=4,点M是边AB的中点,连结DM,DM与AC交于点O,当三角板的边DF与边DM重合时(如图2),若OF=,求DF和DN的长.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,其对称轴为直线x=﹣1,与x轴的交点为(x1,0)、(x2,0),其中0<x2<1,有下列结论:①b2﹣4ac>0;②4a﹣2b+c>﹣1;③﹣3<x1<﹣2;④当m为任意实数时,a﹣b≤am2+bm;⑤3a+c=0.其中,正确的结论有( )
A.②③④B.①③⑤C.②④⑤D.①③④
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【题目】如图,四边形ABCD是平行四边形,AD与圆相切,请在下图中,仅用无刻度的直尺按要求画图.
(1)若BC是圆的直径,画出平行四边形ABCD的边CD上的高;
(2)若CD与圆相切,画出平行四边形ABCD的边BC上的高AE.
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【题目】(1)如图1,在△ABC中,E是BC的中点,P是AE的中点,则称CP是△ABC的“双中线”.若∠ACB=90°,AC=3,AB=5,则CP=________;
(2)在图2中,E是正方形ABCD一边上的中点,P是BE上的中点,则称AP是正方形ABCD的“双中线”.若AB=4,则AP的长为__________;(按图示辅助线求解)
(3)在图3中,AP是矩形ABCD的“双中线”.若AB=4,BC=6,请仿照(2)中的方法求出AP的长,并说明理由;
(4)在图4中,AP是□ABCD的“双中线”,若AB=4,BC=10,∠BAD=120°,求△ABP的周长.
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,AB=5,BC=4,E是BC边上一点,连接DE,将矩形ABCD沿DE折叠,顶点C恰好落在AB边上点F处,延长DE交AB的延长线于点G.
(1)求线段BE的长;
(2)连接CG,求证:四边形CDFG是菱形;
(3)如图2,P,Q分别是线段DG,CG上的动点(与端点不重合),且∠CPQ=∠CDP,是否存在这样的点P,使△CPQ是等腰三角形?若存在,请直接写出DP的值,若不存在,请说明理由.
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