Question

【题目】（1）如图1，在△ABC中，E是BC的中点，P是AE的中点，则称CP是△ABC的“双中线”．若∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，则CP＝________；

（2）在图2中，E是正方形ABCD一边上的中点，P是BE上的中点，则称AP是正方形ABCD的“双中线”．若AB＝4，则AP的长为__________；（按图示辅助线求解）

（3）在图3中，AP是矩形ABCD的“双中线”．若AB＝4，BC＝6，请仿照（2）中的方法求出AP的长，并说明理由；

（4）在图4中，AP是□ABCD的“双中线”，若AB＝4，BC＝10，∠BAD＝120°，求△ABP的周长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）AP的长为，理由见解析；（4）4＋＋．

【解析】

（1）利用勾股定理求出BC、AE，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出结论；

（2）连接DP并延长交AB的延长线于F，利用AAS证出△FBP≌△DEP，从而求出AF和AD，利用勾股定理求出DF，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出结论；

（3）连接DP并延长交AB的延长线于点H，利用AAS证出△PBH≌△PED，从而求出AH和AD，利用勾股定理求出DH，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出结论；

（4）连接DP并延长交AB的延长线于点H，作DK⊥BA交BA的延长线于点K，过点A作AN⊥DH于点N，过点E作EM⊥BC交BC的延长线于点M，利用勾股定理、锐角三角函数和相似三角形的判定及性质求出PB和PA即可求出结论．

解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，

∴BC=

∵E是BC的中点，

∴CE=BC=2

∴AE=

∵P是AE的中点，

∴CP=AE=

故答案为: ;

（2）连接DP并延长交AB的延长线于F

∵E是正方形ABCD一边上的中点，AB=4

∴AB=CD=AD=4,AB∥CD,∠BAD=90°

∴DE=CD=2,∠F=∠PDE,∠FBP=∠DEP

∵P是BE上的中点，

∴BP=EP

∴△FBP≌△DEP

∴FP=DP,BF=DE=2

∴AF=AB＋BF=6

在Rt△ADF中，DF=

∴AP=DF=

故答案为：；

（3）AP的长为，理由如下：

如下图，连接DP并延长交AB的延长线于点H．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，∠HAD＝90°．

∴∠H＝∠PDE．

∵P是BE上的中点，

∴BP＝EP．

又∠BPH＝∠EPD，

∴△PBH≌△PED（AAS）．

∴BH＝ED，HP＝DP．

∵E是CD的中点，

∴BH＝ED＝CD＝2．

∴AH＝AB＋BH＝6．

在Rt△ADH中，DH＝，

∴AP＝DH＝．

（4）如下图，连接DP并延长交AB的延长线于点H，作DK⊥BA交BA的延长线于点K，过点A作AN⊥DH于点N，过点E作EM⊥BC交BC的延长线于点M．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BCD＝∠BAD＝120°，CD＝AB＝4，AD＝BC＝10．

在Rt△ADK中，∠KAD＝180°－∠BAD＝60°，∠K＝90°，AD＝10，

∴AK＝AD·cos 60°＝5，KD＝AD·sin 60°＝．

在Rt△ECM中，∠M＝90°，∠ECM＝180°－∠BCD＝60°，EC＝CD＝2，

∴CM＝EC·cos 60°＝1，EM＝EC·sin 60°＝．

在Rt△BEM中，BM＝BC＋CM＝11，

∴BE＝＝．

∵P是BE的中点，

∴PB＝BE＝．

同（3）可得△PBH≌△PED，

∴HP＝DP，HB＝DE＝CD＝2．

∴HK＝HB＋AB＋AK＝2＋4＋5＝11，AH＝AB＋BH＝6．

在Rt△HKD中，DH＝＝14，

∴PH＝PD＝DH＝7．

∵∠AHN＝∠DHK，∠ANH＝∠K＝90°，

∴△HAN∽△HDK．

∴．

∴．

∴AN＝，HN＝．

∴PN＝PH－HN＝7－＝．

在Rt△APN中，PA＝＝，

∴△ABP的周长＝AB＋PA＋PB＝4＋＋．