Question

【题目】已知，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点C，B关于过点A的直线l对称，直线l与y轴交于D．

（1）求A，B两点坐标及直线l的解析式；

（2）求二次函数解析式；

（3）在第三象限抛物线上有一个动点E，连接OE交直线l于点F，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0），直线l的表达式为：y＝﹣x﹣；（2）y＝；（3）．

【解析】

（1）对于y＝ax2＋2ax3a，令y＝0，则x＝3或1，求出点A、B的坐标，利用点C，B关于直线l对称得AC＝AB＝4，求出a的值，进而求解；

（2）由（1）得到a的值，故可求解；

（3）利用△HEF∽△DOF，得到＝＝﹣x2﹣x+，即可求解．

（1）对于y＝ax2+2ax﹣3a，令y＝0，则x＝﹣3或1，

则点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0），

则函数的对称轴为：x＝﹣1，则顶点C坐标为：（﹣1，﹣4a），

∵点C，B关于直线l对称，如下图：

∴AC＝AB＝4，

即（﹣3+1）2+（0+4a）2＝42，

解得：a＝（负值已舍去），

故点C的坐标为：（﹣1，﹣2），

则BC＝＝4＝AB＝AC，

故△ABC为等边三角形，

∵点C，B关于直线l对称，

则BC∠⊥AD，故∠BAD＝30°，

∵tan30°=

则设直线l的表达式为：y＝﹣x+b，

将点A的坐标代入得0=﹣×3+b

并解得：b＝﹣，

故直线l的表达式为：y＝﹣x﹣；

（2）由（1）知a＝，

故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣；

（3）∵直线l的表达式为：y＝﹣x﹣；

∴点D的坐标为：（0，﹣），即OD＝，

过点E作y轴的平行线交AD于点H，

设点E（x，x2+x﹣），则点H（x，﹣x﹣），

则EH＝（﹣x﹣）﹣（x2+x﹣）＝﹣x2﹣x+，

∵HE∥y轴，

∴△HEF∽△DOF，

∴＝＝﹣x2﹣x+=-（x+）2+，

∵0，故有最大值，

当x＝﹣时，最大值为．