【题目】已知:如图①,在矩形ABCD中,AB=5,,AE⊥BD,垂足是E.点F是点E关于AB的对称点,连接AF、BF.
(1)求AE和BE的长;
(2)若将△ABF沿着射线BD方向平移,设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度).当点F分别平移到线段AB、AD上时,求出相应的m的值;
(3)如图②,将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α(0°<α<180°),记旋转中的为,在旋转过程中,设所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q,若△DPQ为等腰三角形,请直接写出此时DQ的长.
【答案】(1)4;3 (2)3或 (3)或
【解析】
(1)由矩形的性质,利用勾股定理求解的长,由等面积法求解,由勾股定理求解即可,
(2)利用对称与平移的性质得到:AB∥A′B′,∠4=∠1,BF=B′F′=3.当点F′落在AB上时,证明BB′=B′F′即可得到答案,当点F′落在AD上时,证明△B′F′D为等腰三角形,从而可得答案,
(3)分4种情况讨论:①如答图3﹣1所示,点Q落在BD延长线上,证明A′Q=A′B,利用勾股定理求解 从而求解,②如答图3﹣2所示,点Q落在BD上,证明点A′落在BC边上,利用勾股定理求解 从而可得答案,③如答图3﹣3所示,点Q落在BD上,证明∠A′QB=∠A′BQ,利用勾股定理求解,从而可得答案,④如答图3﹣4所示,点Q落在BD上,证明BQ=BA′,从而可得答案.
解:(1)在Rt△ABD中,AB=5,,
由勾股定理得:.
.
在Rt△ABE中,AB=5,AE=4,
由勾股定理得:BE=3.
(2)设平移中的三角形为△A′B′F′,如答图2所示:
由对称的性质可知,∠1=∠2.
由平移性质可知,AB∥A′B′,∠4=∠1,BF=B′F′=3.
①当点F′落在AB上时,
∵AB∥A′B′,
∴∠3=∠4,
∴∠3=∠2,
∴BB′=B′F′=3,即m=3;
②当点F′落在AD上时,
∵AB∥A′B′,∴∠6=∠2,
∵∠1=∠2,∠5=∠1,∴∠5=∠6,
A′B′⊥AD,
∴△B′F′D为等腰三角形,
∴B′D=B′F′=3,
,即.
(3)DQ的长度分别为或.
在旋转过程中,等腰△DPQ依次有以下4种情形:
①如答图3﹣1所示,点Q落在BD延长线上,且PD=DQ,
∠2=2∠Q,
∵∠1=∠3+∠Q,∠1=∠2,
∴∠3=∠Q,
∴A′Q=A′B=5,
∴F′Q=F′A′+A′Q=4+5=9.
在Rt△BF′Q中,由勾股定理得:.
;
②如答图3﹣2所示,点Q落在BD上,且PQ=DQ,∴∠2=∠P,
∵∠1=∠2,∴∠1=∠P,∴BA′∥PD,
∵PD∥BC,∴此时点A′落在BC边上.
∵∠3=∠2,∴∠3=∠1,
∴BQ=A′Q,∴F′Q=F′A′﹣A′Q=4﹣BQ.
在Rt△BQF′中,由勾股定理得:
即: 解得:,
;
③如答图3﹣3所示,点Q落在BD上,且PD=DQ,
∠3=∠4.
∵∠2+∠3+∠4=180°,∠3=∠4,.
∵∠1=∠2,.
,
,
∴∠A′QB=∠A′BQ,∴A′Q=A′B=5,
∴F′Q=A′Q﹣A′F′=5﹣4=1.
在Rt△BF′Q中,由勾股定理得:,
;
④如答图3﹣4所示,点Q落在BD上,且PQ=PD,
∠2=∠3.
∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠2=∠3,
∴∠1=∠4,
∴BQ=BA′=5,
.
综上所述,DQ的长度分别为或.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O外,∠ABC的平分线与⊙O交于点D,∠C=90°.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若∠CDB=60°,AB=18,求的长.
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【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90°,D为AB上的一点,以CD为直径的⊙O交AC于E,连接BE交CD于P,交⊙O于F,连接DF,∠ABC=∠EFD.
(1)求证:AB与⊙O相切;
(2)若AD=4,BD=6,则⊙O的半径= ;
(3)若PC=2PF,BF=a,求CP(用a的代数式表示).
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【题目】已知:如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y=x+b的图象交
于点A(1,4)、点B(-4,n).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△OAB的面积;
(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点在轴正半轴上,轴,点的横坐标都是,且,点在上,若反比例函数的图象经过点,且.
(1)求点坐标;
(2)将沿着折叠,设顶点的对称点为,试判断点是否恰好落在直线上,为什么.
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【题目】在屋楼崮西侧一个坡度(或坡比)的山坡上发现有一棵古树.测得古树底端到山脚点的距离米,在距山脚点水平距离米的点处,测得古树顶端的仰角(古树与山坡的剖面、点在同一平面上,古树与直线垂直),则古树的高度约为( )
A.米B.米C.米D.米
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线交x轴正半轴于点A,交y轴负半轴于点B,点C在线段OA上,将沿直线BC翻折,点A与y轴上的点D(0,4)恰好重合.
(1)求直线AB的表达式.
(2)已知点E(0,3),点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B重合),连接PD,PE,当PDE的周长取得最小值时,求点P的坐标。
(3)在坐标轴上是否存在一点H,使得HAB和ABC的面积相等?若存在,求出满足条件的点H的坐标;若不存在,请说明理由。
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