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【题目】已知:如图①,在矩形ABCD中,AB5AEBD,垂足是E.点F是点E关于AB的对称点,连接AFBF

1)求AEBE的长;

2)若将△ABF沿着射线BD方向平移,设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度).当点F分别平移到线段ABAD上时,求出相应的m的值;

3)如图②,将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α0°<α180°),记旋转中的,在旋转过程中,设所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q,若△DPQ为等腰三角形,请直接写出此时DQ的长.

【答案】143233

【解析】

1)由矩形的性质,利用勾股定理求解的长,由等面积法求解,由勾股定理求解即可,

2)利用对称与平移的性质得到:ABA′B′,∠4=∠1BFB′F′3.当点F′落在AB上时,证明BB′B′F′即可得到答案,当点F′落在AD上时,证明△B′F′D为等腰三角形,从而可得答案,

3)分4种情况讨论:①如答图31所示,点Q落在BD延长线上,证明A′QA′B,利用勾股定理求解 从而求解,②如答图32所示,点Q落在BD上,证明点A′落在BC边上,利用勾股定理求解 从而可得答案,③如答图33所示,点Q落在BD上,证明∠A′QB=∠A′BQ,利用勾股定理求解,从而可得答案,④如答图34所示,点Q落在BD上,证明BQBA′,从而可得答案.

解:(1)在RtABD中,AB5

由勾股定理得:

RtABE中,AB5AE4

由勾股定理得:BE3

2)设平移中的三角形为△A′B′F′,如答图2所示:

由对称的性质可知,∠1=∠2

由平移性质可知,ABA′B′,∠4=∠1BFB′F′3

①当点F′落在AB上时,

ABA′B′

∴∠3=∠4

∴∠3=∠2

BB′B′F′3,即m3

②当点F′落在AD上时,

ABA′B′,∴∠6=∠2

∵∠1=∠2,∠5=∠1,∴∠5=∠6

A′B′AD

∴△B′F′D为等腰三角形,

B′DB′F′3

,即

3DQ的长度分别为

在旋转过程中,等腰DPQ依次有以下4种情形:

①如答图31所示,点Q落在BD延长线上,且PDDQ

22Q

∵∠1=∠3+Q,∠1=∠2

∴∠3=∠Q

A′QA′B5

F′QF′A′+A′Q4+59

RtBF′Q中,由勾股定理得:

②如答图32所示,点Q落在BD上,且PQDQ,∴∠2=∠P

∵∠1=∠2,∴∠1=∠P,∴BA′PD

PDBC,∴此时点A′落在BC边上.

∵∠3=∠2,∴∠3=∠1

BQA′Q,∴F′QF′A′A′Q4BQ

RtBQF′中,由勾股定理得:

即: 解得:

③如答图33所示,点Q落在BD上,且PDDQ

3=∠4

∵∠2+3+4180°,∠3=∠4

∵∠1=∠2

∴∠A′QB=∠A′BQ,∴A′QA′B5

F′QA′QA′F′541

RtBF′Q中,由勾股定理得:

④如答图34所示,点Q落在BD上,且PQPD

2=∠3

∵∠1=∠2,∠3=∠4,∠2=∠3

∴∠1=∠4

BQBA′5

综上所述,DQ的长度分别为

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