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【题目】已知抛物线与y轴交于点C,与x轴的两个交点分别为A(﹣4,0),B(1,0).

(1)求抛物线的解析式;

(2)已知点P在抛物线上,连接PC,PB,若△PBC是以BC为直角边的直角三角形,求点P的坐标;

3)已知点E在x轴上,点F在抛物线上,是否存在以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1);(2)P(-4,0)或(-5,-3);(3)E(-7,0)或(-1,0)或.

【解析】

试题分析:(1)把A、B坐标代入解析式可求得抛物线解析式;(2)先证明ACB=90°,点A就是所求的点P,求出直线AC解析式,再求出过点B平行AC的直线的解析式,利用方程组即可解决问题.(3)分AC为平行四边形的边,AC为平行四边形的对角线两种切线讨论即可解决问题.

试题解析:(1)把A(-4,0)、B(1,0)坐标代入解析式得 ,解得..(2)当x=0,y═﹣ x2 x+2=2,则C(0,2),OC=2,A(4,0),B(1,0),

OA=4,OB=1,AB=5,当PCB=90°时,AC2=42+22=20,BC2=22+12=5,AB2=52=25AC2+BC2=AB2.∴△ACB是直角三角形,ACB=90°当点P与点A重合时,PBC是以BC为直角边的直角三角形,此时P点坐标为(4,0);当PBC=90°时,PBAC,如图1,设直线AC的解析式为y=mx+n,则解得直线AC的解析式为y= x+2,BPAC,直线BP的解析式为,把B(1,0)代入得,解得p=直线BP的解析式为,解方程组,此时P点坐标为(5,3);综上所述,满足条件的P点坐标为(4,0)或(5,3);

(3)存在点E,设点E坐标为(m,0),F.当AC为边,CF1AE1,易知CF1=3,此时E1坐标(7,0),当AC为边时,ACEF,易知点F纵坐标为2,,解得n=,得到F22),F3(2),,解得m=.E2,E3当AC为对角线时,AE4=CF1=3,此时E41,0),

综上所述满足条件的点E坐标为(-7,0)或(-1,0)或.

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