Question

18．如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，连接BE．过点C作CF⊥BE，垂足为点F，连接OF．求：
（1）CF的长；
（2）OF的长．

Answer 1

分析 （1）在BE上截取BG=CF，连接OG，证明△OBG≌△OCF，则OG=OF，∠BOG=∠COF，利用勾股定理可得BE的长，由射影定理得BF的长，易得EF的长，求得CF；
（2）由（1）得出等腰直角三角形GOF，在RT△BCE中，根据射影定理求得GF的长，即可求得OF的长．

解答 解：（1）如图，在BE上截取BG=CF，连接OG，
∵RT△BCE中，CF⊥BE，
∴∠EBC=∠ECF，
∵∠OBC=∠OCD=45°，
∴∠OBG=∠OCF，
在△OBG与△OCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠OBG=∠OCF}\\{BG=CF}\end{array}\right.$，
∴△OBG≌△OCF（SAS），
∴OG=OF，∠BOG=∠COF，
∴OG⊥OF，
在RT△BCE中，BC=DC=6，DE=2EC，
∴EC=2，
∴BE=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵BC²=BF•BE，
则6²=BF•2$\sqrt{10}$解得：BF=$\frac{9\sqrt{10}}{5}$，
∴EF=BE-BF=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∵CF²=BF•EF，
∴CF=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$；

（2）由（1）知，
GF=BF-BG=BF-CF=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
在等腰直角△OGF中
OF²=$\frac{1}{2}$GF²，
∴OF=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理的应用，作出适当的辅助线，构建全等三角形是解答此题的关键．