【题目】如图,将一张矩形纸片ABCD折叠,使两个顶点A、C重合,折痕为FG,若AB=4,BC=8.
求(1)线段BF的长;
(2)判断△AGF形状并证明;
(3)求线段GF的长.
【答案】(1)BF=3;(2)△AGF是等腰三角形,理由见解析;(3)GF=2.
【解析】
(1)根据折叠的性质和垂直平分线的性质求出AF=CF,根据勾股定理得出关于CF的方程,求出CF,得出BF,再根据面积公式求出即可;
(2)由平行线的性质和折叠的性质可证AF=AG,可得△AGF是等腰三角形;
(3)由勾股定理可求AC的长,可求AO的长,由勾股定理可求FO的长,即可得GF的长.
(1)∵将一矩形纸片ABCD折叠,使两个顶点A,C重合,折痕为FG,
∴FG是AC的垂直平分线,
∴AF=CF,
设AF=FC=x,
在Rt△ABF中,由勾股定理得:AB2+BF2=AF2,
即42+(8﹣x)2=x2,
解得:x=5,
即CF=5,BF=8﹣5=3,
(2)△AGF是等腰三角形,
理由如下:∵将一张矩形纸片ABCD折叠,
∴∠AFG=∠CFG,
∵AD∥BC,
∴∠AGF=∠CFG
∴∠AGF=∠AFG,
∴AG=AF,
∴△AGF是等腰三角形;
(3)∵AB=4,BC=8.
∴AC= =
=4
,
∵将一张矩形纸片ABCD折叠,
∴AC⊥GF,
∵AF=CF,
∴AO=CO=2,
∵AF=AG,AC⊥GF,
∴FO=GO,
∵FO==
=
,
∴GF=2OF=2.
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【题目】“如果二次函数的图象与
轴有两个公共点,那么一元二次方程
有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若
、
(
<
)是关于
的方程
的两根且
<
则请用“<”来表示
、
、
、
的大小是_________.
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【题目】我们规定在网格内的某点进行一定条件操作到达目标点:H代表所有的水平移动,H1代表向右水平移动1个单位长度,H-1代表向左平移1个单位长度;S代表上下移动,S1代表向上移动1个单位长度,S-1代表向下移动1个单位长度,表示点P在网格内先一次性水平移动,在此基础上再一次性上下移动;
表示点P在网格内先一次性上下移动,在此基础上再一次性水平移动.
(1)如图,在网格中标出移动后所到达的目标点
;
(2)如图,在网格中的点B到达目标点A,写出点B的移动方法________________;
(3)如图,在网格内有格点线段AC,现需要由点A出发,到达目标点D,使得A、C、D三点构成的格点三角形是等腰直角三角形,在图中标出所有符合条件的点D的位置并写出点A的移动方法.
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【题目】如图1,直线l:y=x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,﹣1),抛物线y=
x2+bx+c经过点B,与直线l的另一个交点为C(4,n).
(1)求n的值和抛物线的解析式;
(2)点D在抛物线上,DE∥y轴交直线l于点E,点F在直线l上,且四边形DFEG为矩形(如图2),设点D的横坐标为t(0<t<4),矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关系式以及p的最大值;
(3)将△AOB绕平面内某点M旋转90°或180°,得到△A1O1B1,点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,那么我们就称这样的点为“落点”,请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A1的横坐标.
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【题目】建立适当的坐标系,运用函数知识解决下面的问题:
如图,是某条河上的一座抛物线形拱桥,拱桥顶部点E到桥下水面的距离EF为3米时,水面宽AB为6米,一场大雨过后,河水上涨,水面宽度变为CD,且CD=2米,此时水位上升了多少米?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0)、B(3,0),与y轴交于点C,顶点为D,对称轴为直线x=1,有下列四个判断:
①关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=﹣1,x2=3;
②a﹣b+c=0;
③若抛物线上有三个点分别为(﹣2,y1)、(1,y2)、(2,y3),则y1<y2<y3;
④当OC=3时,点P为抛物线对称轴上的一个动点,则△PCA的周长的最小值是,
上述四个判断中正确的 有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】企业的污水处理有两种方式:一种是输送到污水厂进行集中处理,另一种是通过企业的自身设备进行处理.某企业去年每月的污水量均为12000吨,由于污水厂处于调试阶段,污水处理能力有限,该企业投资自建设备处理污水,两种处理方式同时进行.1至6月,该企业向污水厂输送的污水量y1(吨)与月份x(1≤x≤6,且x取整数)之间满足的函数关系如下表:
月份x(月) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
输送的污水量y1(吨) | 12000 | 6000 | 4000 | 3000 | 2400 | 2000 |
7至12月,该企业自身处理的污水量y2(吨)与月份x(7≤x≤12,且x取整数)之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0).其图象如图所示.1至6月,污水厂处理每吨污水的费用:z1(元)与月份x之间满足函数关系式:z1=x,该企业自身处理每吨污水的费用:z2(元)与月份x之间满足函数关系式:z2=
x﹣
x2;7至12月,污水厂处理每吨污水的费用均为2元,该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元.
(1)请观察题中的表格和图象,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识,分别直接写出y1,y2与x之间的函数关系式;
(2)请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W(元)最多,并求出这个最多费用.
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