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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+cx轴交于点A(﹣1,0)、B(3,0),与y轴交于点C,顶点为D,对称轴为直线x=1,有下列四个判断:

①关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=﹣1,x2=3;

a﹣b+c=0;

③若抛物线上有三个点分别为(﹣2,y1)、(1,y2)、(2,y3),则y1<y2<y3

④当OC=3时,点P为抛物线对称轴上的一个动点,则△PCA的周长的最小值是

上述四个判断中正确的 有(  )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

由抛物线与对称轴的交点对①进行判断;由抛物线经过点(-1,0),代入解析式即可对②进行判断;利用抛物线的对称轴对③进行判断;利用抛物线的对称性得到PA=PB,当B、P、C在一条直线上时,PB+PC=BC,此时PA+PC最小,则△PCA的周长最小,根据勾股定理求得AC、BC即可对④进行判断.

∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0),
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=-1,x2=3,故①正确;
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),
∴a-b+c=0,故②正确;
∵抛物线开口向下,对称轴为直线x==1,抛物线上有三个点分别为(-2,y1)、(1,y2)、(2,y3),
∴|-2-1|>|2-1|,
∴y1<y3<y2,故③错误;
∵P为抛物线对称轴上的一个动点,
∴点A与点B为抛物线的对称点,
∴PA=PB,
∴PA+PC=PB+PC,
当B、P、C在一条直线上时,PB+PC=BC,
此时PA+PC最小,则△PCA的周长最小,
∵OA=1,OC=3,OB=3
∴AC=,BC=2
∴△PCA的周长最小值为+2.故④错误.
故选:B.

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A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④

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x

﹣1

0

1

2

3

y

   

   

   

   

   

(1)请在表内的空格中填入适当的数;

(2)根据列表,请在所给的平面直角坐标系中画出y=x2﹣2x﹣1的图象;

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