【题目】将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10.
(1)如图1,在OA上取一点E,将△EOC沿EC折叠,使O点落在AB边上的D点,求E点的坐标;
(2)如图2,在OA、OC边上选取适当的点E′、F,将△E′OF沿E′F折叠,使O点落在AB边上的D′点,过D′作D′G⊥C′O交E′F于T点,交OC′于G点,T坐标为(3,m),求m.
【答案】(1)E点的坐标为(0,);(2)m=.
【解析】
(1)先根据折叠的性质得出DC=OC=10,在Rt△BCD中,运用矩形的性质及勾股定理得出BD=8,然后在Rt△AED中,由勾股定理得OE2=22+(6-OE)2,解方程求出OE的长,进而求出点E的坐标;(2)先由折叠的性质得出∠D′E′F=∠OE′F,由平行线的性质得出∠OE′F=∠D′TE′,则∠D′E′F=∠D′TE′,根据等角对等边得到D′T=D′E′=OE′,则TG=AE′,根据勾股定理列方程即可方法结论.
解:(1)如图,
∵将△EOC沿EC折叠,使O点落在AB边上的D点,
∴DC=OC=10.
在Rt△BCD中,
∵∠B=90°,BC=OA=6,DC=10,
∴BD=
在Rt△AED中,
∵∠DAE=90°,AD=2,DE=OE,AE=6﹣OE,
∴DE2=AD2+AE2,即OE2=22+(6﹣OE)2,
解得 OE=,
∴E点的坐标为(0,);
(2)如图,
∵将△E′OF沿E′F折叠,使O点落在AB边上D′点,
∴∠D′E′F=∠OE′F,D′E′=OE′,
∵D′G∥AO,
∴∠OE′F=∠D′TE′,
∴∠D′E′F=∠D′TE′,
∴D′T=D′E′=OE′,
∴TG=AE′;
∵T坐标为(3,m),
∴AD′=OG=3,TG=AE′=m,
∴D′E′=6﹣m,
∵AE′2+AD′2=D′E′2,
∴m2+32=(6﹣m)2,
解得:m=.
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【题目】今年4月18日﹣4月20日,第29届重庆市青少年科技创新大赛在重庆南开中学举行,该校学生会在赛后对某年级各班的志愿者人数进行了统计,各班志愿者人数有6名、5名、4名、3名、2名、1名共计六种情况,并制成两幅不完整的统计图如下:
(1)该年级共有 个班级,并将条形图补充完整;
(2)求平均每班有多少名志愿者;
(3)为了了解志愿者在这次活动中的感受,校学生会准备从只有2名志愿者的班级中任选两名志愿者参加座谈会,请用列表或画树状图的方法,求出所选志愿者来自同一个班级的概率.
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【题目】如图,在和中,,还需再添加两个条件才能使,则不能添加的一组条件是( )
A. AC=DE,∠C=∠EB. BD=AB,AC=DE
C. AB=DB,∠A=∠DD. ∠C=∠E,∠A=∠D
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【题目】探究:如图,分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ABMN和正方形ACDE,CN、BE交于点P. 求证:∠ANC = ∠ABE.
应用:Q是线段BC的中点,连结PQ. 若BC = 6,则PQ = ___________.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(9,0),(0,3),OD=5,点P在BC(不与点B、C重合)上运动,当△OPD为等腰三角形时,点P的坐标为______.
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【题目】如图所示,将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D正好落在BC边上F点处,已知CE=3cm, AB=8cm,则图中AD长为______________________.
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【题目】如图①,如果四边形ABCD满足AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”.
将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状,再展开得到图③,其中CE,CF为折痕,∠BCE=∠ECF=∠FCD,点B′为点B的对应点,点D′为点D的对应点,连接EB',FD′相交于点O.
简单应用:
(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中,一定为“完美筝形”的是__________________.
(2)请你结合图1写出一条完美筝形的性质_______________.
(3)当图3中的∠BCD=120°时,∠AEB′=_________________.
(4)当图2中的四边形AECF为菱形时,对应图③中的“完美筝形”有__________________________(写出筝形的名称:例 筝形ABCD).
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【题目】如图,直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A,B,且OA,OB的长(OA>OB)是方程x2-10x+24=0的两个根,P(m,n)是第一象限内直线y=kx+b上的一个动点(点P不与点A,B重合).
(1)求直线AB的解析式.
(2)C是x轴上一点,且OC=2,求△ACP的面积S与m之间的函数关系式;
(3)在x轴上是否有在点Q,使以A,B,Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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