Question

（1）如图，△ABC是等边三角形，过它的三个顶点分别作对边的平行线，得到一个新的三角形DEF，△DEF是等边三角形吗？你还能找到其他的等边三角形吗？点A，B，C分别是EF，ED，FD的中点吗？请证明你的结论．
（2）如果△DEF是等边三角形，点A，B，C分别是EF，ED，FD的中点，那么△ABC是等边三角形吗？请证明你的结论．

Answer 1

考点：等边三角形的判定与性质,三角形中位线定理

专题：

分析：（1）根据平行四边形的判定与性质，可得AB与CF的关系，AB与DC的关系，可得AB是中位线，可得答案；
（2）根据三角形中位线的性质，可得答案．

解答：（1）△DEF是等边三角形，△ABE是等边三角形，△ACF是等边三角形，△BCD是等边三角形，点A，B，C分别是EF，ED，FD的中点，
证明：∵三角形ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC．
∵AB∥DF，BC∥EF，
∴四边形ABCF是平行四边形，
∴AB=CF，AF=BC；
∵AC∥ED，AB∥DF，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∴AB=DC，DB=AC；
DC=CF，
AB是△EDF的中位线，
所以点A，B，C分别是DE，DF，EF的中点；
（2）△ABC是等边三角形
证明：点A．B..C分别是DE、DF、EF的中点，
∴AB、AC、BC是△DEF的中位线，
∴BC=

1

2

DE，AB=

1

2

EF，AC=

1

2

DF
∵△DEF是等边三角形
∴AB=AC=BC
∴△ABC是等边三角形．

点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质．