Question

矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0）、C（0，3），直线y=x与BC边相交于点D．

（1）求点D的坐标；

（2）若抛物线y=ax²+bx经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式；

（3）P为x轴上方（2）中抛物线上一点，求△POA面积的最大值；

（4）设（2）中抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点Q为对称轴上一动点，以Q、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的Q点的坐标．

　

　

Answer 1

       解：（1）由题知，直线y=x与BC交于点D（x，3）．（1分）

把y=3代入y=x中得，x=4，

∴D（4，3）；（3分）

（2）抛物线y=ax²+bx经过D（4，3）、A（6，0）两点，分别代入y=ax²+bx中，（4分）

得

解之得（5分）

∴抛物线的解析式为y=﹣x²+x；（6分）

（3）因△POA底边OA=6，

∴当S_△POA有最大值时，点P须位于抛物线的最高点，

∵a=﹣＜0，

∴抛物线顶点恰为最高点，（7分）

（8分）

∴S_△POA的最大值=×6×=；（10分）

（4）抛物线的对称轴与x轴交于点Q₁，符合条件．

∵CB∥OA，∠Q₁OM=∠CDO，

∴Rt△Q₁OM∽Rt△CDO．x=﹣=3，该点坐标为Q₁（3，0）．（11分）

过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点Q₂，

∵对称轴平行于y轴，

∴∠Q₂MO=∠DOC，

∴Rt△Q₂MO∽Rt△DOC．

在Rt△Q₂Q₁O和Rt△DCO中

Q₁O=CO=3，∠Q₂=∠ODC，

∴Rt△Q₂Q₁O≌Rt△DCO．

∴CD=Q₁Q₂=4，

∵点Q₂位于第四象限，

∴Q₂（3，﹣4）．（12分）

因此，符合条件的点有两个，分别是Q₁（3，0），Q₂（3，﹣4）．（13分）