Question

如图，已知直角坐标平面上的△ABC，AC=CB，∠ACB=90°，且A（-1，0），B（m，n），C（3，0）．若抛物线y=ax²+bx-3经过A、C两点．
（1）求a、b的值；
（2）将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点B，求新抛物线的解析式；
（3）设（2）中的新抛物的顶点P点，Q为新抛物线上P点至B点之间的一点，以点Q为圆心画图，当⊙Q与x轴和直线BC都相切时，联结PQ、BQ，求四边形ABQP的面积．

Answer 1

考点：二次函数综合题,正方形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）只需把点A、C的坐标代入抛物线的解析式就可解决问题；
（2）可设新抛物线的解析式为y=x²-2x-3+k，然后求出点B的坐标，并把点B的坐标代入新抛物线的解析式，就可解决问题；
（3）设⊙Q与x轴相切于点D，与直线BC相切于点E，连接QD、QE，易证四边形QECD是正方形，则有QD=DC．设点Q的横坐标为t，从而得到点Q的坐标为（t，3-t），代入新抛物线的解析式，求出点Q的坐标，然后运用割补法就可求出四边形ABQP的面积．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-3经过A（-1，0）、C（3，0），
∴

a-b-3=0 9a+3b-3=0

，
解得：

a=1 b=-2

；

（2）设抛物线向上平移k个单位后得到的新抛物线恰好经过点B，
则新抛物线的解析式为y=x²-2x-3+k，
∵A（-1，0）、C（3，0），
∴CB=AC=3-（-1）=4，
∵∠ACB=90°，∴点B的坐标为（3，4）．
∵点B（3，4）在抛物线y=x²-2x-3+k上，
∴9-6-3+k=4，
解得：k=4，
∴新抛物线的解析式为y=x²-2x+1；

（3）设⊙Q与x轴相切于点D，与直线BC相切于点E，连接QD、QE，如图所示，
则有QD⊥OC，QE⊥BC，QD=QE，
∴∠QDC=∠DCE=∠QEC=90°，
∴四边形QECD是矩形．
∵QD=QE，
∴矩形QECD是正方形，
∴QD=DC．
设点Q的横坐标为t，
则有OD=t，QD=DC=OC-OD=3-t，
∴点Q的坐标为（t，3-t）．
∵点Q在抛物线y=x²-2x+1上，
∴t²-2t+1=3-t，
解得：t₁=2，t₂=-1．
∵Q为抛物线y=x²-2x+1上P点至B点之间的一点，
∴t=2，点Q的坐标为（2，1），
∴OD=2，QD=CD=1．
由y=x²-2x+1=（x-1）²得顶点P的坐标为（1，0），
∴OP=1，PD=OD-OP=2-1=1，
∴S_{四边形ABQP}=S_△ACB-S_△PDQ-S_梯形DQBC
=

1

2

AC•BC-

1

2

PD•QD-

1

2

（QD+BC）•DC
=

1

2

×4×4-

1

2

×1×1-

1

2

×（1+4）×1
=5，
∴四边形ABQP的面积为5．

点评：本题主要考查了用待定系数法求抛物线的解析式、正方形的判定与性质、解一元二次方程等知识，运用割补法是解决第（3）小题的关键．