Question

11．如图，在?ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB，猜想：四边形DFBE是什么特殊的四边形？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先利用平行四边形的想得到AB=CD，∠A=∠C，再利用角平分线的性质得到∠ABE=∠CDF，利用ASA证明△ABE≌△CDF；
（2）证明∠DEB=∠BFD=∠EDF=90°．即可解决问题．．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
AB=CD，∠A=∠C．
AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB．
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB．
∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\\{∠ABE=∠CDF}&{\;}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CDF（SAS）．         

（2）解：四边形DFBE是矩形．理由如下：
∵AB=DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．
∵AB=DB，AB=CD，
∴DB=CD．
∵DF平分∠CDB，
∴DF⊥BC，即∠BFD=90°．
在□ABCD中，∵AD∥BC，
∴∠EDF+∠DEB=180°．
∴∠EDF=90°．
∴∠DEB=∠BFD=∠EDF=90°．
∴四边形DFBE是矩形．

点评 本题考查全等三角形的判定、平行四边形的性质、角平分线的定义、矩形的判定、等腰三角形的三线合一等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．