Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB=$\frac{4}{5}$，点D在斜边AB上，把△ACD沿直线CD翻折，使得点A落在同一平面内的A′处，当A′D平行Rt△ABC的直角边时，AD的长为4或8．

Answer 1

分析 如图1，当A′D∥BC，根据平行线的性质得到∠A′DB=∠B，根据折叠的性质得到A′D=AD，∠A′=∠A，根据三角形的面积公式得到CE=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{24}{5}$，由相似三角形的性质即可得到结论；如图2，当A′D∥AC，根据折叠的性质得到AD=A′D，AC=A′C，∠ACD=∠A′CD，根据平行线的性质得到∠A′DC=∠ACD，于是得到∠A′DC=∠A′CD，推出A′D=A′C，于是得到AD=AC=8．

解答 解：Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB=$\frac{4}{5}$，
∴AC=8，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=6，
①如图1，当A′D∥BC，
∴∠A′DB=∠B，
∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，
∴A′D=AD，∴∠A′=∠A，
∴∠A′+∠A′DB=90°，
∴A′C⊥AB，
∴CE=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{24}{5}$，
∴A′E=$\frac{16}{5}$，
∵A′D∥BC，
∴△A′DE∽△CBE，
∴$\frac{A′D}{BC}$=$\frac{A′E}{CE}$，即$\frac{A′D}{6}$=$\frac{\frac{16}{5}}{\frac{24}{5}}$，
∴A′D=4，
∴AD=4；
②如图2，当A′D∥AC，
∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，
∴AD=A′D，AC=A′C，∠ACD=∠A′CD，
∵∠A′DC=∠ACD，
∴∠A′DC=∠A′CD，
∴A′D=A′C，
∴AD=AC=8，
综上所述：AD的长为：4或8．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．