Question

16．已知：S₁=1+$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$，S₂=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$，S₃=1+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$，S₄=1+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{5}^{2}}$，S₅=1+$\frac{1}{{5}^{2}}$+$\frac{1}{{6}^{2}}$，…则$\sqrt{{S}_{n}}$=1+$\frac{1}{n（n+1）}$（用含n的代数式表示，其中n为正整数）

Answer 1

分析 由S₁、S₂、S₃、S₄、S₅、…可得出S_n=1+$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$=[1+$\frac{1}{n（n+1）}$]²，开方后即可得出结论．

解答 解：∵S₁=1+$\frac{1}{{1}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$，S₂=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$，S₃=1+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$，S₄=1+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{5}^{2}}$，S₅=1+$\frac{1}{{5}^{2}}$+$\frac{1}{{6}^{2}}$，…，
∴S_n=1+$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$=1+$\frac{2}{n（n+1）}$+$\frac{1}{{n}^{2}（n+1）^{2}}$=[1+$\frac{1}{n（n+1）}$]²，
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=1+$\frac{1}{n（n+1）}$．
故答案为：1+$\frac{1}{n（n+1）}$．

点评 本题考查了二次根式的性质与化简以及规律型中数的变化，根据给定等式，找出变化规律“S_n=1+$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$=[1+$\frac{1}{n（n+1）}$]²”是解题的关键．