Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点P从点D出发沿折线DE－EF－FC－CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC－CA于点G．点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t>0）．

（1）D，F两点间的距离是 ；

（2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值．若不能，说明理由；

（3）当点P运动到折线EF－FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；

（4）连结PG，当PG∥AB时，请直接写出t的值．

Answer 1

【答案】（1）25；（2）能，t=；（3），；（4）和

【解析】

（1）根据中位线的性质求解即可；

（2）能，连结，过点作于点，由四边形为矩形，可知过的中点时，把矩形分为面积相等的两部分，此时，通过证明，可得，再根据即求出t的值；

（3）分两种情况：①当点在上时；②当点在上时，根据相似的性质、线段的和差关系列出方程求解即可；

（4）（注：判断可分为以下几种情形：当时，点下行，点上行，可知其中存在的时刻；此后，点继续上行到点时，，而点却在下行到点再沿上行，发现点在上运动时不存在；当时，点，均在上，也不存在；由于点比点先到达点并继续沿下行，所以在中存在的时刻；当时，点，均在上，不存在．

解：（1）∵D， F分别是AC， BC的中点

∴DF是△ABC的中位线

∴

（2）能．

连结，过点作于点．

由四边形为矩形，可知过的中点时，

把矩形分为面积相等的两部分．

（注：可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明），

此时．

∵

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∵F是BC的中点

∴

∴．

故．

（3）①当点在上时，如图1．

，，

由，得．

∴．

②当点在上时，如图2．

已知，从而，

由，，得．

解得．

（4）和．

（注：判断可分为以下几种情形：当时，点下行，点上行，可知其中存在的时刻；此后，点继续上行到点时，，而点却在下行到点再沿上行，发现点在上运动时不存在；当时，点，均在上，也不存在；由于点比点先到达点并继续沿下行，所以在中存在的时刻；当时，点，均在上，不存在．）