Question

7．如图，在菱形ABCD中，AD=5，AC=6，对角线AC，BD交于点O，P．Q分别是线段AO，DO上的动点，P从A出发以1cm速度向O运动，Q从点O出发以2cm/s的速度向点D运动，设运动时间为t，四边形APQD面积为y．
（1）求y与t的函数关系．
（2）当t为何值时，y有最值？并求其最值．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质得AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=3，则利用勾股定理可计算出OD=$\sqrt{A{D}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，然后利用y=S_△OAD-S_△OPQ可表示出y=t²-3t+6（0≤t≤2）；
（2）利用二次函数的性质求解．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=3，
在Rt△AOD中，OD=$\sqrt{A{D}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
AP=t，OQ=2t，则OP=3-t，
y=S_△OAD-S_△OPQ=$\frac{1}{2}$•3•4-$\frac{1}{2}$•（3-t）•2t=t²-3t+6（0≤t≤2）；
（2）y=（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{15}{4}$，
当t=$\frac{3}{2}$时，y有最小值$\frac{15}{4}$，当t=0时，y有最大值6．

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了二次函数的性质．