Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c，根据图象，回答下列问题：
（1）判断下列各代数式的符号：a，b，c，b²-4ac，a-b+c，4a²-2b+c；
（2）写出方程ax²+bx+c=0的根；
（3）写出不等式ax²+bx+c＜0的解集；
（4）写出当y随x增大而减小时，自变量x的取值范围；
（5）若方程ax²+bx+c=k，有两个不相等的实根，求k的取值范围；
（6）如果抛物线沿y轴向下平移4个单位，你能说出（2）（3）（4）（5）的解答吗？

Answer 1

考点：二次函数的性质,二次函数图象与系数的关系,二次函数图象与几何变换,抛物线与x轴的交点,二次函数与不等式（组）

专题：

分析：（1）根据条件可求出a、b、c的值，再分别判断各代数式的符号即可；
（2）根据对称性可求得图象与x轴的两个交点坐标，可得出方程的根；
（3）由图象可知当图象下方时的对应的x的范围，可得出不等式的解集；
（4）根据对称轴可写出对应的x的范围；
（5）相当于二次函数图象与y=k有两个交点，可得出k的范围；
（6）同理向下平移可得到与x轴的交点坐标，则可得到相应的答案．

解答：解：
（1）由图象可知其顶点坐标为（-1，6），
∴可设抛物线解析式为y=a（x+1）²+6，
又∵图象过（1，0），
∴代入可求得a=-

3

2

，
∴y=-

3

2

（x+1）²+6=-

3

2

x²-3x+

9

2

，
∴a＜0，b＜0，c＞0，
b²-4ac=（-3）²-4×（-

3

2

）×

9

2

=9+27=36＞0，
a-b+c=-

3

2

-（-3）+

9

2

=6＞0，
4a²-2b+c=4×（-

3

2

）²-2×（-3）+

9

2

=9+6+

9

2

＞0；
（2）根据对称性可知图象与x轴的两个交点坐标为（-3，0）和（1，0），
∴方程ax²+bx+c=0的根为x=-3或x=1；
（3）不等式ax²+bx+c＜0解集为x＜-3或x＞1；
（4）∵开口向下，
∴当x＞-1时，y随x的增大而减小；
（5）方程ax²+bx+c=k，有两个不相等的实根，相当于抛物线与y=k有两个不同的交点，
∴k＜6；
（6）当抛物线沿y轴向下平移4个单位时，与x轴的交点坐标为（-

2 3

3

-1，0）和（

2 3

3

-1，0），
方程ax²+bx+c=0的根为x=-

2 3

3

-1或x=

2 3

3

-1；
不等式ax²+bx+c＜0解集为x＜-

2 3

3

-1或x＞

2 3

3

-1；
当x＞-1时，y随x的增大而减小；
方程ax²+bx+c=k，k＜2．

点评：本题主要考查二次函数的性质，求得二次函数与x轴的两个交点是解题的关键，注意数形结合思想的应用．