精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y= $数学公式$ x²+bx+c的图象经过点A（-3，6），并与x轴交于点B（-1，0）和点C，顶点为P．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设D为线段OC上的一点，若∠DPC=∠BAC，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点M在抛物线y= $数学公式$ x²+bx+c上，点N在y轴上，要使以M、N、B、D为顶点的四边形是平行四边形，这样的点M、N是否存在？若存在，求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）将点A（-3，6），B（-1，0）代入 $\text{[math]}$ 中，
得 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴二次函数的解析式为 $\text{[math]}$ ．
（2）令y=0，得 $\text{[math]}$ ，解得 x₁=-1，x₂=3，
则点C的坐标为（3，0），

∵ $\text{[math]}$ ，
∴顶点P的坐标为（1，-2）．
过点A作AE⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，垂足分别为E，F，
易得∠ACB=∠PCD=45°，
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
又∵∠DPC=∠BAC，
∴△ACB∽△PCD，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵BC=3-（-1）=4，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴点D的坐标为 $\text{[math]}$ ．
（3）①当BD为一边时，由于 $\text{[math]}$ ，此时可得点M的横坐标为 $\text{[math]}$ 或- $\text{[math]}$ ，代入函数解析式 $\text{[math]}$ ，
可得点M的坐标为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
②当BD为对角线时，根据对角线互相平分，可得平行四边形的中心的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0）
由∵点N的横坐标为0，
∴点M的横坐标为 $\text{[math]}$ ，代入函数解析式可得此时点M的坐标为 $\text{[math]}$ ．
综上可得点M的坐标为：（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）或（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）将点A及点B的坐标代入二次函数解析式即可得出b和c的值，继而可得出函数解析式；
（2）先求出点C的坐标，根据二次函数解析式求出点P的坐标，然后可得出∠ACB=∠PCD=45°，结合∠DPC=∠BAC，可判断△ACB∽△PCD，利用相似三角形的性质求出CD，然后求出OD，即可得出点D的坐标；
（3）①当BD为平行四边形的一边时，根据平行四边形的性质可得 $\text{[math]}$ =MN，结合点N在y轴上，可得出点M的横坐标为 $\text{[math]}$ 或- $\text{[math]}$ ，代入函数解析式即可得出点M的坐标；
②当BD为对角线时，根据点N的横坐标为0，可得出点M的横坐标为 $\text{[math]}$ ，代入可得出点M的坐标．
点评：此题属于二次函数的综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，难度较大，难点在第二问，关键是判断出△ACB∽△PCD，求出OD的长度，第三问解答的关键之处在于分类讨论，得出点M的横坐标．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．
（1）求点B的坐标；
（2）当∠CPD=∠OAB，且

，求这时点P的坐标．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

（2012•渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是

．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为

．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数y=

图象上一点，PA=OA，S_△PAO=10，则反比例函数y=

的解析式为（　　）

A．y=

B．y=

-8

C．y=

-12

D．y=

-16

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OC=AB=4，BC=6，

∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．
（1）求梯形OABC的面积；
（2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
（3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

查看答案和解析>>

同步练习册答案

练习册

高中

初中

小学