Question

【题目】已知等边△ABC边长为8cm，点D是AC的中点，点E在射线BD上运动，以AE为边在AE右侧作等边△AEF，作射线CF交射线BD于点M，连接AM．

（1）当点E在线段BD（不包括端点B，D）上时，求证：BE＝CF；

（2）求证：MA平分∠BMN；

（3）连接DF，点E在移动过程中，线段DF长的最小值等于　 （直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DF最小值为2cm．

【解析】

（1）欲证明BE＝CF，只要证明△BAE≌△CAF（SAS）即可；

（2）首先证明∠BCM＝90°，然后可得∠AMD＝∠CMD＝60°，求出∠AMN＝60°即可；

（3）作DH⊥CN于H，根据点F的运动轨迹是射线CN可知，当点F与H重合时，DF的长最小，然后利用含30°直角三角形的性质求出DH即可．

（1）证明：∵△ABC，△AEF都是等边三角形，

∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF，

∴∠BAE＝∠CAF，

∴△BAE≌△CAF（SAS），

∴BE＝CF；

（2）证明：∵△ABC是等边三角形，AD＝DC，

∴BD⊥AC，∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°，

∴∠ABE＝∠CBE＝30°，MA＝MC，

∵△BAE≌△CAF，

∴∠ABE＝∠ACF＝30°，

∴∠BCM＝90°，

∴∠BMC＝90°﹣30°＝60°，

∵MA＝MC，MB⊥AC，

∴∠AMD＝∠CMD＝60°，

∴∠AMN＝60°，

∴∠AMN＝∠AMD，

∴AM平分∠BMN．

（3）解：如图，作DH⊥CN于H．

∵∠BCN＝90°，

∴点F的运动轨迹是射线CN，

根据垂线段最短可知，当点F与H重合时，DF的长最小，

∵CD＝AD＝4cm，∠DCH＝30°，∠DHC＝90°，

∴DH＝CD＝2cm，

∴DF最小值为2cm．

故答案为2cm．