Question

18．在平面直角坐标系中，点P（m，6）在第一象限，且P是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）图象上的一点，OP与x轴正半轴的夹角α的正弦值满足：5sin²α-7sinα+2.4=0，求m的值及此反比例函数的解析式．（根据2014年九年级期末试卷第18题改编）

Answer 1

分析 由5sin²α-7sinα+2.4=0，变形为$（sinα-\frac{3}{5}）•（sinα-\frac{4}{5}）=0$，从而得出$sinα=\frac{3}{5}$或$sinα=\frac{4}{5}$；过点P作PE⊥x轴于点E，则可得PE=6，0E=m，在Rt△POE中根据$sinα=\frac{3}{5}$或$sinα=\frac{4}{5}$，求出OP，继而根据勾股定理求得m的值，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式．

解答 解：过点P作PE⊥x轴于点E，则可得PE=6，0E=m，
∵5sin²α-7sinα+2.4=0，
∴$（sinα-\frac{3}{5}）•（sinα-\frac{4}{5}）=0$，
∴$sinα=\frac{3}{5}$或$sinα=\frac{4}{5}$，
当$sinα=\frac{3}{5}$时，则sinα=$\frac{6}{OP}$=$\frac{3}{5}$
∴OP=10，
在RT△POE中，OE=$\sqrt{O{P}^{2}-P{E}^{2}}$=8，
∴m=8，此时，k=6×8=48，
∴$y=\frac{48}{x}$；
当$sinα=\frac{4}{5}$时，则sinα=$\frac{6}{OP}$=$\frac{4}{5}$
∴OP=$\frac{15}{2}$，由勾股定理得：m=$\frac{9}{2}$，此时，k=6×4.5=27，
∴$y=\frac{27}{x}$．

点评 本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、勾股定理及同角的三角函数关系，解答本题的关键是求出OP的长度．