Question

【题目】如图，二次函数y=﹣mx2+4m的顶点坐标为（0，2），矩形ABCD的顶点B．C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内点A在点D的左侧．

（1）求二次函数的解析式；

（2）设点A的坐标为（x，y），试求矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；

（3）是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？试证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2；（2）p=﹣（x+2）2+8，其中﹣2＜x＜2；（3）不存在，证明见解析

【解析】试题分析： （1）由顶点坐标（0，2）可直接代入y=﹣mx2+4m，求得m=，即可求得抛物线的解析式；（2）由图及四边形ABCD为矩形可知AD∥x轴，长为2x的据对值，AB的长为A点的总坐标，由x与y的关系，可求得p关于自变量x的解析式，因为矩形ABCD在抛物线里面，所以x小于0，大于抛物线与x负半轴的交点；（3）由（2）得到的p关于x的解析式，可令p=9，求x的方程，看x是否有解，有解则存在，无解则不存在，显然不存在这样的p．

试题解析：

（1）∵二次函数y=﹣mx2+4m的顶点坐标为（0，2），

∴4m=2，

即m=，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2；

（2）∵A点在x轴的负方向上坐标为（x，y），四边形ABCD为矩形，BC在x轴上，

∴AD∥x轴，

又∵抛物线关于y轴对称，

∴D、C点关于y轴分别与A、B对称．

∴AD的长为2x，AB长为y，

∴周长p=2y+4x=2（﹣x2+2）﹣4x=﹣（x+2）2+8．

∵A在抛物线上，且ABCD组成矩形，

∴x＜2，

∵四边形ABCD为矩形，

∴y＞0，

即x＞﹣2．

∴p=﹣（x+2）2+8，其中﹣2＜x＜2．

（3）不存在，

证明：假设存在这样的p，即：

9=﹣（x+2）2+8，

解此方程得：x无解，所以不存在这样的p．