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【题目】在平面直角坐标系中,O为原点,点A(﹣,0),点B(0,1)把△ABO绕点O顺时针旋转,得△A'B'O,点AB旋转后的对应点为A',B',记旋转角为α(0°<α<360°).

(1)如图①,当点A′,BB′共线时,求AA′的长.

(2)如图②,当α=90°,求直线ABAB′的交点C的坐标;

(3)当点A′在直线AB上时,求BB′与OA′的交点D的坐标(直接写出结果即可)

【答案】(1)AA′=;(2)();(3)().

【解析】

(1)如图①,只要证明AOA′是等边三角形即可;

(2)如图②,当α=90°,点A′y轴上,作CHOA′H.解直角三角形求出BH,CH即可解决问题;

(3)如图③,设A′B′x轴于点K.首先证明A′B′x轴,求出OK,A′K即可解决问题;

(1)如图①

A(﹣,0),B(0,1),

OAOB=1,

tanBAO

∴∠BAO=30°,ABO=60°,

∵△AOB是由AOB旋转得到,

∴∠B′=ABO=60°,OBOB′,OAOA′,

∴∠OBB′=60°,

∴∠BOB′=α=AOA′=60°,

∴△AOA是等边三角形,

AA′=OA

(2)如图②,当α=90°,点Ay轴上,作CHOAH

∵∠ABO=60°,CAB′=30°,

∴∠ACB′=90°,

ABOA′﹣OB﹣1,BAC=30°,

BCAB

∵∠HBC=60°,

BHBCCHBH

OH=1+BH

∴点C的坐标().

(3)如图③中,设ABx轴于点K

AAB上时,∵OAOA′,

∴∠OAA′=AAO=30°,

∵∠OAB′=30°,

∴∠AAK=60°,

∴∠AKA′=90°,

OA′=OAK=30°,

OKOA′=AKOK

A′().

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.

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