Question

5．在正方形ABCD中，点P是边BC上一动点（不包含端点），线段AP的垂直平分线与AB，AP，BD，AD分别交于点M，E，F，N．
（Ⅰ）若AB=9，BP=3，求线段MN的长度；
（Ⅱ）求证：ME+NF=EF．

Answer 1

分析 （1）过N作NG⊥AB于G，通过证明△ABP≌△NGM，得到MN=AP，由勾股定理AP的长度，即可得到结果．
（2）过P作PH∥AB交MN于H，过F作ST∥AB交BC于S，交AD与T，连接AF，PF，通过△AME≌△PHE，得到ME=HE，再由矩形的性质和三角形全等得到BS=AT，FS=AT，由R_t△FPS≌R_t△ATF，得到PS=TF，可得PS=TD，再根据平行线分线段成比例定理即可证明．

解答 （1）解：如图1，过N作NG⊥AB于G，
∴四边形AGND是矩形，
∴NG=AD，
∴AB=AD=GN，
∵AP⊥MN，
∴∠AEM=90°，
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABP与△NGM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AB=NG}\\{∠ABP=∠NGM}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△NGM，
∴MN=AP，
在R_t△ABP中，AB=9，BP=3，
∴AP=$\sqrt{A{B}^{2}+P{B}^{2}}$=3$\sqrt{10}$，
∴MN=3$\sqrt{10}$．
（2）证明：如图2，过P作PH∥AB交MN于H，过F作ST∥AB交BC于S，交AD与T，连接AF，PF，
∵MN垂直平分AP，
∴AE=PE，AF=PF，
∵PH∥AB，
∴∠MAE=∠HPE，
在△AME与△PHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAE=∠HPE}\\{AE=PE}\\{∠AEM=∠PEH}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△PHE，
∴ME=HE，
∵∠TDF=∠FBP=45°，
∴TD=TF，FS=BS，
∵四边形ABST是矩形，
∴BS=AT，
∴FS=AT，
在R_t△FPS与R_t△ATF中
$\left\{\begin{array}{l}{AT=FS}\\{AF=PF}\end{array}\right.$，
∴R_t△FPS≌R_t△ATF，
∴PS=TF，
∴PS=TD，
∵四边形TSCD是矩形，
∴TD=SC，
∴PS=SC，
∵PH∥TS∥CD，
∴HF=FN，
∴ME+NF=EF．

点评 此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定和垂直平分线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解决问题关键，属于中考常考题型．