Question

15．已知关于x的一元二次方程x²-（3k+1）x+2k²+2k=0
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a=6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？

Answer 1

分析 （1）计算方程的根的判别式，若△=b²-4ac≥0，则证明方程总有实数根；
（2）已知a=6，则a可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，再求出△ABC的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．

解答 （1）证明：∵△=b²-4ac=（3k+1）²-4（2k²+2k）=9k²+6k+1-8k²-8k=k²-2k+1=（k-1）²≥0
∴无论k取何值，方程总有实数根．
（2）解：①若a=6为底边，则b，c为腰长，则b=c，则△=0．
∴（k-1）²=0，解得：k=1．
此时原方程化为x²-4x+4=0，
∴x₁=x₂=2，即b=c=2．
此时△ABC三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；
②若a=b为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b=a=6，
代入方程：6²-6（3k+1）+2k²+2k=0，
解得k=3或5，
则原方程化为x²-10x+24=0或x²-16x+60=0，
解得x₁=4，x₂=6或x₁=6，x₂=10，
即b=6，c=4，或b=6，c=10，
此时△ABC三边为6，6，4或6，6，10能构成三角形，
周长为6+6+4=16或6+6+10=22．

点评 本题考查了根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验，此题很容易漏解．