Question

【题目】如图①，已知OC是∠AOB内部的一条射线，M、N分别为OA、OB上的点，线段OM、ON同时开始旋转，线段OM以30度/秒绕点O逆时针旋转，线段ON以10度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当OM旋转到与OB重合时，线段OM、ON都停止旋转．设OM的旋转时间为t秒．

（1）若∠AOB＝140°，当t＝2秒时，∠MON＝　 　，当t＝4秒时，∠MON＝　 　；

（2）如图②，若∠AOB＝140°，OC是∠AOB的平分线，求t为何值时，两个角∠NOB与∠COM中的其中一个角是另一个角的2倍．

（3）如图③，若OM、ON分别在∠AOC、∠COB内部旋转时，总有∠COM＝3∠CON，请直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）60°，20°；（2）t＝或2或时；（3）＝．

【解析】

（1）当t=2秒时，线段OM与ON未相遇，根据∠MON＝∠AOB-∠AOM-∠BON计算即可；当t=4时，线段OM与ON已相遇过，根据∠MON＝∠BON-（∠AOB-∠AOM）计算即可；

（2）分两种情况讨论，列出方程可求解；

（3）由∠COM＝3∠CON，列出关于∠AOB，∠BOC的等式，即可求解．

（1）当t＝2s时，∠MON＝140°﹣10°×2﹣30°×2＝60°，如图，

当t＝4s时，∠MON＝4×10°-（140°-4×30°）＝20°，如图，

故答案为：60°，20°；

（2）若∠COM＝2∠BON时，|30°t﹣70°|＝2×10°×t，

∴t＝或7（不合题意舍去）

当∠BON＝2∠COM时，2|30°t﹣70°|＝10°×t，

∴t＝2或，

综上所述当t＝或2或时，两个角∠NOB与∠COM中的其中一个角是另一个角的2倍．

（3）∵∠COM＝3∠CON，

∴∠AOB﹣∠BOC﹣30°×t＝3（∠BOC﹣10°×t），

∴∠AOB＝4∠BOC，

∴＝．