Question

【题目】将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形A1BC1D1，点A、C、D的对应点分别为A1、C1、D1．

（1）当点A1落在AC上时：

①如图1，若∠CAB＝60°，求证：四边形ABD1C为平行四边形；

②如图2，AD1交CB于点O，若∠CAB≠60°，求证：DO＝AO；

（2）如图3，当A1D1过点C时，若BC＝10，CD＝6，直接写出A1A的长．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）AA1＝．

【解析】

（1）①首先证明△A1B是等边三角形，可得∠AA1B＝∠A1BD1＝60°，即可解决问题．
②首先证明Rt△BCD1≌Rt△D1A1B（HL），得出CD1＝BA1，则四边形ABD1C是平行四边形，推出OC＝OB，再证明△DCO≌△ABO（SAS）即可解决问题．
（2）如图3中，作A1E⊥AB于E，A1F⊥BC于F．利用勾股定理求出AE，A1E即可解决问题．

（1）证明：①如图1中，

∵∠CAB＝60°，BA＝BA1，

∴△ABA1是等边三角形，

∴∠AA1B＝60°，

∵∠A1BD1＝60°，

∴∠AA1B＝∠A1BD1，

∴AC∥BD1，

∵AC＝BD1，

∴四边形ABD1C是平行四边形．

②如图2中，连接BD1，BD，DD1．

∵BA＝BA1，BD＝BD1，∠ABA1＝∠DBD1，

∴∠BAA1＝∠BDD1，

∵∠BAA1＝∠BDC，

∴∠BDC＝∠BDD1，

∴D，C，D1共线，

∵∠BCD1＝∠BAD1＝90°，BD1＝D1B，BC＝A1D1，

∴Rt△BCD1≌Rt△D1A1B（HL），

∴CD1＝BA1，

∵BA＝BA1，

∴AB＝CD1，

∵AC＝BD1

∴四边形ABD1C是平行四边形，

∴OC＝OB

∵CD＝BA，∠DCO＝∠ABO，

∴△DCO≌△ABO（SAS），

∴DO＝OA．

（2）如图3中，作A1E⊥AB于E，A1F⊥BC于F．

在Rt△A1BC中，∵∠CA1B＝90°，BC＝10．AB＝6，

∴CA1＝＝＝8，

∵△A1BC的面积为＝A1CA1B＝BCA1F，

∴A1F＝，

∵∠A1FB＝∠A1EB＝∠EBF＝90°，

∴四边形A1EBF是矩形，

∴EB＝A1F＝，A1E＝BF＝＝＝，

∴AE＝AB-BE＝6-＝，

在Rt△AA1E中，AA1＝＝＝．