Question

【题目】如图1，已知抛物线与x轴相交于A、B两点（A左B右），与y轴交于点C．其顶点为D．

（1）求点D的坐标和直线BC对应的一次函数关系式；

（2）若正方形PQMN的一边PQ在线段AB上，另两个顶点M、N分别在BC、AC上，试求M、N两点的坐标；

（3）如图1，E是线段BC上的动点，过点E作DE的垂线交BD于点F，求DF的最小值．

（图1） （图2）

Answer 1

【答案】（1），；（2），；（3）．

【解析】

（1）将二次函数的解析式化为顶点式即可得点D的坐标；先根据二次函数的解析式可求出B、C的坐标，再利用待定系数法可求出直线BC的一次函数关系式；

（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式，从而可设点M、N的坐标，再根据正方形的性质（四边相等）列出等式求解即可；

（3）先利用待定系数法求出直线BD的解析式，再设点E、F的坐标，利用待定系数法分别求出直线DE、EF的一次项系数，然后利用列出等式并化简，得出DF的表达式，由此求解即可得．

（1）

则顶点D的坐标为

当时，，解得或

则点A的坐标为，点B的坐标为

当时，，则点C的坐标为

设直线BC对应的一次函数关系式为

将点，代入得：，解得

则直线BC对应的一次函数关系式为；

（2）设直线AC的解析式为

将点，代入得：，解得

则直线AC的解析式为

设点M的坐标为，点N的坐标为

四边形PQMN是正方形，PQ在线段AB上

则有，解得

则点M的坐标为，点N的坐标为；

（3）设直线BD的解析式为

将点，代入得：，解得

则直线BD的解析式为

设点E的坐标为，点F的坐标为，则，

由题意，分以下两种情况：

①当时，则，此时点E恰好在抛物线的对称轴上

点F的纵坐标为2，即，解得

则

②当且时

设直线DE的解析式为

将点，代入得：，解得

设直线EF的解析式为

将点，代入得：，解得

，即

整理得：

则

且

且

对于任意两个正数都有

，即，当且仅当时，等号成立

设（且）

则，当且仅当，即时，等号成立

因此，此时DF的最小值为

又

综上，DF的最小值为．