Question

15．如图，直线y=-x+b（b＞0）与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交于A、B两点，连接OA、OB，AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N，现有以下结论：
①OA=OB；②△AOM≌△BON；③若∠AOB=45°，则S_△AOB=k；④当AB=$\sqrt{2}$时，AM=BN=1．其中结论正确的是①②③．

Answer 1

分析 ②设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据反比例函数图象上点的坐标即可得出x₁•y₁=x₂•y₂=k，将y=-x+b代入y=$\frac{k}{x}$中，整理后根据根与系数的关系即可得出x₁•x₂=k，从而得出x₂=y₁、x₁=y₂，即ON=OM、AM=BN，利用全等三角形的判定定理SAS即可证出△AOM≌△BON，②正确；根据全等三角形的性质即可得出OA=OB，①正确；③作OH⊥AB于点H，根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质即可得出∠AOH=∠BOH=22.5°、∠AOM=∠BON=22.5°，由相等的边角关系利用全等三角形的判定定理AAS即可证出△AOM≌△AOH，同理即可得出△AOM≌△AOH≌△BON≌△BOH，再利用反比例系数k的几何意义即可得出S_△AOB=k，③正确；④延长MA、NB交于G点，由NG=OM=ON=MG、BN=AM可得出GB=GA，进而得出△ABG为等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质以及AB=$\sqrt{2}$即可得出GA、GB的长度，由OM、ON的值不确定故无法得出AM、BN的值，④错误．综上即可得出结论．

解答 解：②设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵点A、B在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴x₁•y₁=x₂•y₂=k．
将y=-x+b代入y=$\frac{k}{x}$中，整理得：x²-bx+k=0，
∴x₁•x₂=k，
又∵x₁•y₁=k，
∴x₂=y₁，x₁=y₂，
∴ON=OM，AM=BN．
在△OMA和△ONB中，$\left\{\begin{array}{l}{OM=ON}\\{∠OMA=∠ONB}\\{AM=BN}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△BON（SAS），②正确；
①∵△AOM≌△BON，
∴OA=OB，
∴①OA=OB，②△AOM≌△BON，正确；
③作OH⊥AB于点H，如图1所示．
∵OA=OB，∠AOB=45°，△AOM≌△BON，
∴∠AOH=∠BOH=22.5°，∠AOM=∠BON=22.5°．
在△AOM和△AOH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OMA=∠OHA=90°}\\{∠AOM=∠AOH=22.5°}\\{OA=OA}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△AOH（AAS），
同理：△BON≌△BOH，
∴△AOM≌△AOH≌△BON≌△BOH，
∴S_△AOB=S_△AOH+S_△BOH=S_△AOM+S_△BON=$\frac{1}{2}$k+$\frac{1}{2}$k=k，③正确；
④延长MA、NB交于G点，如图2所示．
∵NG=OM=ON=MG，BN=AM，
∴GB=GA，
∴△ABG为等腰直角三角形，
当AB=$\sqrt{2}$时，GA=GB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=1，
∵OM、ON不确定，
∴无法得出AM=AN=1，④错误．
综上所述：结论正确的是①②③．
故答案为：①②③．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例系数k的几何意义，逐一分析四个结论的正误是解题的关键．