Question

如图，抛物线y=x²-x与x轴交于O，A两点．半径为1的动圆（⊙P），圆心从O点出发沿抛物线向靠近点A的方向移动；半径为2的动圆（⊙Q），圆心从A点出发沿抛物线向靠近点O的方向移动．两圆同时出发，且移动速度相等，当运动到P，Q两点重合时同时停止运动．设点P的横坐标为t．
（1）点Q的横坐标是    （用含t的代数式表示）；
（2）若⊙P与⊙Q相离，则t的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OP、PQ、AQ．先根据抛物线的对称性，得出y=x²-x与x轴的两个交点O与A关于抛物线的对称轴x=对称，再证明四边形OPQA是等腰梯形，作等腰梯形OPQA的高PM、QN，根据等腰梯形的性质得出OM=AN=t．然后解方程x²-x=0，求出OA=5，进而得出点Q的横坐标是5-t；
（2）⊙P与⊙Q相离，包含两种情况：①⊙P与⊙Q外离，根据两圆外离时，圆心距＞两圆半径之和求解；②⊙P与⊙Q内含，根据两圆内含时，圆心距＜两圆半径之差的绝对值求解．
解答：解：（1）连接OP、PQ、AQ．
∵抛物线y=x²-x与x轴交于O，A两点，
∴O与A关于抛物线的对称轴x=对称，
又∵动圆（⊙P）的圆心从O点出发沿抛物线向靠近点A的方向移动；动圆（⊙Q）的圆心从A点出发沿抛物线向靠近点O的方向移动，两圆同时出发，且移动速度相等，
∴OP=AQ，P与Q也关于直线x=对称，
∴四边形OPQA是等腰梯形．
作等腰梯形OPQA的高PM、QN，则OM=AN=t．
解方程x²-x=0，得x₁=0，x₂=5，
∴A（5，0），OA=5，
∴ON=OA-AN=5-t，
∴点Q的横坐标是5-t；

（2）若⊙P与⊙Q相离，分两种情况：
①⊙P与⊙Q外离，则PQ＞2+1，即PQ＞3．
∵OM=AN=t，OA=5，
∴PQ=MN=OA-OM-AN=5-2t，
∴5-2t＞3，
解得t＜1，
又∵t≥0，
∴0≤t＜1；
②⊙P与⊙Q内含，则PQ＜2-1，即PQ＜1．
由①知PQ=5-2t，
∴5-2t＜1，
解得t＞2，
又∵两圆分别从O、A两点同时出发，且移动速度相等，当运动到P，Q两点重合时同时停止运动，OA=5，点P的横坐标为t，
∴2t≤5，解得t≤．
∴2＜t≤．
故答案为5-t；0≤t＜1或2＜t≤．
点评：本题借助于动点主要考查了二次函数的性质，等腰梯形的性质，圆与圆的位置关系，题型比较新颖，难度适中．利用二次函数的对称性等证明四边形OPQA是等腰梯形是解（1）题的关键；进行分类讨论是解（2）题的关键．