Question

【题目】如图1，对△ABC，D是BC边上一点，连结AD，当 = 时，称AD为BC边上的“平方比线”．同理AB和AC边上也存在类似的“平方比线”．

（1）如图2，△ABC中，∠BAC=RT∠，AD⊥BC于D．
证明：AD为BC边上的“平方比线”；

（2）如图3，在平面直角坐标系中，B（﹣4，0），C（1，0），在y轴的正半轴上找一点A，使OA是△ABC中BC边上的“平方比线”．
①求出点A的坐标；
②如图4，以M（ ，0）为圆心，MA为半径作圆，在⊙M上任取一点P（与x轴交点除外）吗，连结PB，PC，PO．求证：PO始终是△PBC中BC边上的“平方比线”．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠BAC=RT∠，

∴∠B+∠C=90°，

∵AD⊥BC，

∴∠B+∠BAD=90°，

∴∠BAD=∠C，

∵∠BDA=∠BAC=90°，

∴△BAD∽△BCA，

∴ ，

∴AB2=BD×BC，

同理可得；AC2=CD×BC，

∴ ，

∴AD为BC边上的“平方比线”

（2）解：①设A（0，m）（m＞0），

则OA=m，而OB=4，OC=1，

所以AB2=m2+16，AC2=m2+1，

∵OA为BC边上的“平方比线”，

∴ ，

∴ ，

解得：m=2

∴A（0，2）．

②证明：连结PM，如图4，

则PM=AM= = ，

∵MC×MB= × = =PM2，

∴ ，

∵∠PMC=∠PMB，

∴△MPC∽△MBP，

∴ =

∴

∴PO始终是BC边上的“平方比线”

【解析】（1）根据互余判断出∠BAD=∠C，得到△BAD∽△BCA得到AB2=BD×BC即可；（2）①设出点A坐标，根据“平方比线”建立方程即可；②先判断出△MPC∽△MBP得到比例式，即可．