【题目】已知矩形ABCD中,AB=2,BC=m,点E是边BC上一点,BE=1,连接AE,沿AE翻折△ABE使点B落在点F处.
(1)连接CF,若CF∥AE,求m的值;
(2)连接DF,若≤DF≤,求m的取值范围.
【答案】(1)m的值是2;(2)
【解析】
(1)画出图形,由CF∥AE可得内错角和同位角相等,由翻折有对应角相等,等量代换后出现等腰三角形,即求出m的值.
(2)由于△ABE的形状大小是固定的,其翻折图形也固定,故可求点F到AD的距离FG与AG的长度,根据△DFG是直角三角形即可利用勾股定理用含m的式子表示DF2的长度,此时可把DF2看作是m的二次函数,根据二次函数图象的性质和DF2的范围,确定自变量m的范围.
解:(1)①如图1,∵CF∥AE
∴∠FCE=∠AEB,∠CFE=∠AEF
∵△ABE翻折得到△AFE
∴EF=BE=1,∠AEF=∠AEB
∴∠FCE=∠CFE
∴CE=EF=1
∴m=BC=BE+CE=2
∴m的值是2.
②如图2,过点F作GH⊥AD于点G,交BC于点H.
∴GH⊥BC
∴∠AGF=∠FHE=90°
∵四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=∠B=90°
∴四边形ABHG是矩形
∴GH=AB=2,AG=BH
∵△ABE翻折得到△AFE
∴EF=BE=1,AF=AB=2,∠AFE=∠B=90°
∴∠AFG+∠EFH=∠AFG+∠FAG=90°
∴∠EFH=∠FAG
∴△EFH∽△FAG
∴===,设EH=x,则AG=BH=x+1
∴FG=2EH=2x
∴FH=GH﹣FG=2﹣2x
∴=,
解得:x=,
∴AG=,FG=,
∵AD=BC=m
∴DG=|AD﹣AG|=|m﹣|
∴DF2=DG2+FG2=(m﹣)2+()2≥,
即可把DF2看作关于m的二次函数,抛物线开口向上,最小值为,
∵≤DF≤,
∴≤DF2≤,
∵(m﹣)2+()2=,
解得:m1=,m2=1
∴根据二次函数图象可知,1≤m≤.
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【题目】已知:抛物线y=x2﹣2x+m与y轴交于点C(0,﹣2),点D和点C关于抛物线对称轴对称.
(1)求此抛物线的解析式和点D的坐标;
(2)如果点M是抛物线的对称轴与x轴的交点,求MCD的周长.
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【题目】如图,的图像交x轴于O点和A点,将此抛物线绕原点旋转180°得图像y2,y2与x轴交于O点和B点.
(1)若,则y2=_____________________
(2)设的顶点为C,则当△ABC为直角三角形时,请你任写一个符合此条件的的表达式_________________
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点 (-3,0),(2,-5).
(1)试确定此二次函数的解析式;
(2)请你判断点P(-2,3)是否在这个二次函数的图象上?
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【题目】如图,A、B、C三点均在二次函数y=x2的图象上,M为线段AC的中点,BM∥y轴,且MB=2.设A、C两点的横坐标分别为t1、t2(t2>t1),则t2﹣t1的值为( )
A.3B.2C.2D.2
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【题目】如图,矩形ABCD的顶点A、B在x轴的正半轴上,反比例函数y=(k≠0)在第一象限内的图象经过点D,交BC于点E.若AB=4,CE=2BE,tan∠AOD=,则k的值_____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,∠ACB=90°,OC=2BO,AC=6,点B的坐标为(1,0),抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点.
(1)求点A的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)点P是直线AB上方抛物线上的一点,过点P作PD垂直x轴于点D,交线段AB于点E,使PE=DE.
①求点P的坐标;
②在直线PD上是否存在点M,使△ABM为直角三角形?若存在,求出符合条件的所有点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,3),且抛物线上任意不同两点M(x1,y1),N(x2,y2)都满足:当x1<x2<0时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0;当0<x1<x2时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0.以原点O为圆心,OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B,C,且B在C的左侧,△ABC有一个内角为60°,则抛物线的解析式为_____.
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【题目】在直角三角形中,,点为上的一点,以点为圆心,为半径的圆弧与相切于点,交于点,连接.
(1)求证:平分;
(2)若,求圆弧的半径;
(3)在的情况下,若,求阴影部分的面积(结果保留和根号)
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