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【题目】已知抛物线yax2+bx+c过点A03),且抛物线上任意不同两点Mx1y1),Nx2y2)都满足:当x1x20时,(x1x2)(y1y2)>0;当0x1x2时,(x1x2)(y1y2)<0.以原点O为圆心,OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为BC,且BC的左侧,ABC有一个内角为60°,则抛物线的解析式为_____

【答案】y=﹣x2+3

【解析】

A的坐标确定出c的值,根据已知不等式判断出y1y20,可得出抛物线的增减性,确定出抛物线对称轴为y轴,且开口向下,求出b的值,如图所示,可得三角形ABC为等边三角形,确定出B的坐标,代入抛物线解析式即可.

解:∵抛物线过点A03),

c3

x1x20时,x1x20,由(x1x2)(y1y2)>0,得到y1y20

∴当x0时,yx的增大而增大,

同理当x0时,yx的增大而减小,

∴抛物线的对称轴为y轴,且开口向下,即b0

∵以O为圆心,OA为半径的圆与抛物线交于另两点BC,如图所示,

∴△ABC为等腰三角形,

∵△ABC中有一个角为60°

∴△ABC为等边三角形,且OCOA3

设线段BCy轴的交点为点D,则有BDCD,且∠OBD30°

BDOBcos30°ODOBsin30°

BC的左侧,

B的坐标为(),

B点在抛物线上,且c3b0

3a+2

解得:a

则抛物线解析式为y=﹣x2+3.

故答案为:y=﹣x2+3.

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年级

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