【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,3),且抛物线上任意不同两点M(x1,y1),N(x2,y2)都满足:当x1<x2<0时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0;当0<x1<x2时,(x1﹣x2)(y1﹣y2)<0.以原点O为圆心,OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B,C,且B在C的左侧,△ABC有一个内角为60°,则抛物线的解析式为_____.
【答案】y=﹣x2+3
【解析】
由A的坐标确定出c的值,根据已知不等式判断出y1﹣y2<0,可得出抛物线的增减性,确定出抛物线对称轴为y轴,且开口向下,求出b的值,如图所示,可得三角形ABC为等边三角形,确定出B的坐标,代入抛物线解析式即可.
解:∵抛物线过点A(0,3),
∴c=3,
当x1<x2<0时,x1﹣x2<0,由(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0,得到y1﹣y2<0,
∴当x<0时,y随x的增大而增大,
同理当x>0时,y随x的增大而减小,
∴抛物线的对称轴为y轴,且开口向下,即b=0,
∵以O为圆心,OA为半径的圆与抛物线交于另两点B,C,如图所示,
∴△ABC为等腰三角形,
∵△ABC中有一个角为60°,
∴△ABC为等边三角形,且OC=OA=3,
设线段BC与y轴的交点为点D,则有BD=CD,且∠OBD=30°,
∴BD=OBcos30°=,OD=OBsin30°=,
∵B在C的左侧,
∴B的坐标为(,),
∵B点在抛物线上,且c=3,b=0,
∴3a+2=,
解得:a=,
则抛物线解析式为y=﹣x2+3.
故答案为:y=﹣x2+3.
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【题目】如图,已知点在反比例函数的图象上,过点作轴,垂足为,直线经过点,与轴交于点,且,.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)直接写出关于的不等式的解集.
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【题目】已知矩形ABCD中,AB=2,BC=m,点E是边BC上一点,BE=1,连接AE,沿AE翻折△ABE使点B落在点F处.
(1)连接CF,若CF∥AE,求m的值;
(2)连接DF,若≤DF≤,求m的取值范围.
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【题目】一节数学课后,老师布置了一道课后练习题:
如图1,是的直径,点在上,,垂足为,,分别交、于点、.求证:.
图1 图2
(1)本题证明的思路可用下列框图表示:
根据上述思路,请你完整地书写本题的证明过程.
(2)如图2,若点和点在的两侧,、的延长线交于点,的延长线交于点,其余条件不变,(1)中的结论还成立吗?请说明理由;
(3)在(2)的条件下,若,,求
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠BAC=36°,过点A作AD∥BC,与∠ABC的平分线交于点D,BD与AC交于点E,与⊙O交于点F.
(1)求∠DAF的度数;
(2)求证:AE2=EFED;
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【题目】如图,平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+4x+m﹣4(m为常数)与y轴的交点为C,M(3,0)与N(0,﹣2)分别是x轴、y轴上的点
(1)当m=1时,求抛物线顶点坐标.
(2)若3≤x≤3+m时,函数y=﹣x2+4x+m﹣4有最小值﹣7,求m的值.
(3)若抛物线与线段MN有公共点,直接写出m的取值范围是 .
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【题目】如图,是我市某大楼的高,在地面上点处测得楼顶的仰角为,沿方向前进米到达点,测得.现打算从大楼顶端点悬挂一幅庆祝建国周年的大型标语,若标语底端距地面,请你计算标语的长度应为多少?
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【题目】某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况,从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试,并对成绩(百分制)进行整理、描述和分析.部分信息如下:
a.七年级成绩频数分布直方图:
b.七年级成绩在这一组的是:70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
c.七、八年级成绩的平均数、中位数如下:
年级 | 平均数 | 中位数 |
七 | 76.9 | m |
八 | 79.2 | 79.5 |
根据以上信息,回答下列问题:
(1)在这次测试中,七年级在80分以上(含80分)的有 人;
(2)表中m的值为 ;
(3)在这次测试中,七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分,请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前,并说明理由;
(4)该校七年级学生有400人,假设全部参加此次测试,请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数.
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【题目】某商场销售一种成本为每件元的商品,销售过程中发现,每月销售量(件)与销售单价(元)之间的关系可近似看作一次函数.商场销售该商品每月获得利润为(元).
(1)求与之间的函数关系式;
(2)如果商场销售该商品每月想要获得元的利润,那么每件商品的销售单价应为多少元?
(3)商场每月要获得最大的利润,该商品的销售单价应为多少?
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