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【题目】已知:如图,平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A6,0、B6,4,D是BC的中点动点P从O点出发,以每秒1个单位的速度,沿着OA、AB、BD运动设P点运动的时间为t秒0<t<13

1写出POD的面积S与t之间的函数关系式,并求出POD的面积等于9时点P的坐标;

2当点P在OA上运动时,连结CP问:是否存在某一时刻t,当CP绕点P旋转时,点C能恰好落到AB的中点M处?若存在,请求出t的值并判断此时CPM的形状;若不存在,请说明理由;

3当点P在AB上运动时,试探索当PO+PD的长最短时的直线PD的表达式。

【答案】1)(45,0)(2,4)(2存在3y=-

【解析】

试题分析:1根据矩形的性质得OA=BC=6,CD=BD=3,AB=4,然后分三种情况求解:当0<t6,如图1,OP=t,根据三角形面积公式得S=2t,再求出S=9所对应的t的值,然后写出此时P点坐标;当6<t10,如图2,则AP=t-6,BP=10-t,利用S=S矩形ABCD-SOCD-SOAP-SBPD得到S=-t+21,再求出S=9所对应的t的值,然后写出此时P点坐标;当10<t<13,如图3,则PB=13-t,根据三角形的面积公式得S=-2t+26,由于S=9时,计算出t=75,而75不合题意故舍去;

2如图4,E点为AB的中点,根据旋转的性质得PC=PE,在RtPOC中,利用勾股定理得PC2=t2+42;在RtPAE中,利用勾股定理得到PE2=6-t2+22,则t2+42=6-t2+22,解方程得t=2

3根据对称性找到P点的对称点P1,找到D点,然后求出D点的坐标,再根据待定系数法求出解析式

试题解析:1矩形OABC的顶点A6,0、B6,4,D是BC的中点,

OA=BC=6,CD=BD=3,AB=4,

当点P在OA上运动时,即0<t6,如图1,OP=t,S=t4=2t;

S=9,

2t=9,解得t=45,

此时P点坐标为45,0

当点P在AB上运动时,即6<t10,如图2,AP=t-6,BP=10-t,S=S矩形ABCD-SOCD-SOAP-SBPD

=4×6-4×3-6t-6-310-t

=-t+21;

S=9,

-t+21=9,解得t=8,

此时P点坐标为2,4

当点P在BD上运动时,即10<t<13,如图3,PB=13-t,S=13-t4=-2t+26;

S=9,

-2t+26=9,解得t=75不合题意舍去

2存在

如图4,E点为AB的中点,

CP绕点P旋转时,点C能恰好落到AB的中点,

PC=PE,

在RtPOC中,OC=4,OP=t,

PC2=OP2+OC2=t2+42

在RtPAE中,AE=2,PA=6-t,

PE2=PA2+AE2=6-t2+22

t2+42=6-t2+22,解得t=2,

即当t=2s时,当CP绕点P旋转时,点C能恰好落到AB的中点处

3y=-

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