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    结论：在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
    如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=
    		3
    ，PC=1．求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．
    李明同学做了如图2所示的辅助线：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形，连接PP′，从而问题得到解决．你能说说其中的理由吗？
    请你参考李明同学的思路，解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=
    		5
    ，BP=
    		2
    ，PC=1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．?
    考点：旋转的性质,等边三角形的性质,勾股定理,勾股定理的逆定理,正方形的性质
    专题：
    分析：根据旋转得出AP′=CP=1，BP′=BP=
    		3
    ，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，求出∠ABP′+∠ABP=60°，得到等边△BPP′，推出PP′=，∠BP′P=60°，求出∠AP′P=90°即可求出∠BPC；过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，由∠MP′B=30°，求出BM=
    		3
    2
    ，P′M=
    3
    2
    ，根据勾股定理即可求出答案；
    （2）求出∠BEP=
    1
    2
    （180°-90°）=45°，根据勾股定理的逆定理求出∠AP′P=90°，推出∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°；过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，求出FE=BF=1，AF=2，关键勾股定理即可求出AB．
    解答：（1）解：∵△ABC是等边三角形，
    ∴∠ABC=60°，
    将△BPC绕点B顺时针旋转60°得出△ABP′，
    ∴AP′=CP=1，BP′=BP=
    		3
    ，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，
    ∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
    ∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°，
    ∴△BPP′是等边三角形，
    ∴PP′=
    		3
    ，∠BP′P=60°，
    ∵AP′=1，AP=2，
    ∴AP′2+PP′2=AP2，
    ∴∠AP′P=90°，
    ∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°，
    过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，
    ∴∠MP′B=30°，BM=
    		3
    2
    ，
    由勾股定理得：P′M=
    3
    2
    ，
    ∴AM=1+
    3
    2
    =
    5
    2
    ，
    由勾股定理得：AB=
    		AM2+BM2
    =
    		7
    ，

    （2）解：将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，
    与（1）类似：可得：AE=PC=1，BE=BP=
    		2
    ，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC，
    ∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°，
    ∴∠BEP=
    1
    2
    （180°-90°）=45°，
    由勾股定理得：EP=2，
    ∵AE=1，AP=
    		5
    ，EP=2，
    ∴AE2+PE2=AP2，
    ∴∠AEP=90°，
    ∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°，
    过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F；
    ∴∠FEB=45°，
    ∴FE=BF=1，
    ∴AF=2；
    ∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB=
    		5
    ；
    ∴∠BPC=135°，正方形边长为
    		5
    ．
    答：∠BPC的度数是135°，正方形ABCD的边长是
    		5
    ．
    点评：本题主要考查对勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的 直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键．
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    （2）求这些车辆行驶的平均速度为多少km/h？
    （3）该路口限速70千米/时，经交警逐一排查，车速为80千米/时的车辆中有2位驾驶员饮酒．若交警不是逐一排查，而是在车速为80千米/时的车辆中随机拦下两位驾驶员进行检测，请你用列表法或画树状图的方法求出所选两辆车的驾驶员中至少有一位饮酒的概率．

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    1
    3
    ）-2-|
    		3
    -2|+2cos30°；
    （2）解方程：
    3x-5
    x-2
    =2+
    x+1
    2-x
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    计算：
    （1）（-1）2÷sin30°+（7-3）×
    3
    4
    -（
    1
    2
    ）0；
    （2）
    		48
    ÷
    		3
    +
    1
    2
    ×
    		12
    -
    		24
    ．

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    点的俯角β为60°．求建筑物CD的高度（结果保留根号）．

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    计算：
    （1）8-（-
    1
    4
    ）×2+（-9）÷6；
    （2）-24-
    1
    4
    ×[8-（-4）2]．

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    4
    3
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    ．

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