Question

14．已知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，AH⊥BC于H，交BD于E，DF⊥BC于F，求证：四边形AEFD为菱形．

Answer 1

分析 根据全等三角形的判定定理HL进行证明Rt△BDF≌Rt△BDA（HL），得到∠ADE=∠FDE；根据平行线的性质、角平分线的性质以及等量代换推知∠EDA=∠AED，易证AD=AE；从而根据邻边相等的平行四边形是菱形进行判断．

解答 证明：∵∠BAC=90°，
∴AC⊥EC．
又∵AD⊥AB，BD是∠ABC的平分线，
∴FD=AD．
在Rt△BDF与Rt△BDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{FD=AD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDF≌Rt△BDA（HL）；
∴∠ADE=∠FDE，
∵AH是BC边上的高，
∴AH⊥BC．
又∵DF⊥BC，
∴AH∥DF，
∴∠AED=∠FDE．
∴∠EDA=∠AED，
∴AD=AE，
∴AD=DF=AE．
又∵DF∥AD，
∴四边形AEFD是菱形．

点评 本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质等知识点．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．