Question

如图：已知正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴的正半轴上，点B坐标为（4，4）．二次函数y=-

1

6

x²+bx+c的图象经过点A，B，且与x轴的交点为E、F．点P在线段EF上运动，过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交直线BC于点D，连接AD．
（1）求b、c的值及点E和点F的坐标；
（2）当点P在线段OC上时，求证：OP=CD；
（3）在点P运动过程中，当△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似时，求点P的坐标；
（4）在点P运动到OC中点时，能否将△AOP绕平面内某点旋转90°后使得△AOP的两个顶点落在x轴上方的抛物线上？若能，请直接写出旋转中心M的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据正方形的性质求出点A的坐标，然后把点A、B的坐标代入函数解析式求出b、c，即可得解；
（2）表示出PO、PC，再根据同角的余角相等求出∠OAP=∠CPG，然后求出△AOP和△PCG全等，再根据全等三角形对应边相等即可求得；
（3）分三种情况分别讨论，①当P点在线段OC上，因为OA=AB，△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似时，则这两个三角形全等，求得OP=BD．②点P在线段CF上，通过△AOP与三角形DBA相似，以及△AOP与△OCD全等即可求得；③点P在线段OE上通过△AOP与三角形DBA相似，以及△AOP与△OCD全等即可求得．
（4）设O′的坐标为（x，y），则P′（x，y-2），A′（x+4，y），然后将P′、A′代入抛物线的解析式，求得x、y的值，最后通过三角形O′MG与三角形MQH全等即可求得．

解答：（1）解：把（0，4），（4，4）分别代入y=-

1

6

x²+bx+c中，
得

c=4 - 1 6 ×42+4b+c=4

，
解得

b= 2 3 c=4

；
令y=0得-

1

6

x²+

2

3

x+4=0，
∴x₁=2

7

+2，x₂=-2

7

+2；
∴E（-2

7

+2，0），F（2

7

+2，0）

（2）证明：∵正方形OABC，
∴OA=OC，∠AOP=∠OCD=90°，
∴∠OAP+∠APO=90°，
∵OH⊥AP，
∴∠COD+∠APO=90°，
∴∠OAP=∠COD，
在△AOP与△OCD中

∠AOP=∠OCD=90° ∠OAP=∠COD OA=OC

，
∴△AOP≌△OCD（AAS），
∴OP=CD．

（3）解：设P（t，0）①当P点在线段OC上时，如原图所示；
∵∠OAP＜45°，∠BAD＜45°
∵若△AOP∽△ABD，AO=AB，
∴OP=BD，
∴OP=BD=CD=2，
∴t=2
∴P₁（2，0）．

②点P在线段CF上时，如图1所示：
∵∠ADB＞∠ODC，
∵∠APO=∠ODC，
∴∠ABD＞∠APO，
∴若△AOP∽△ABD，则

AO

DB

=

OP

AB

，
在△AOP与△OCD中

∠AOP=∠OCD=90° ∠ODC=∠APO OA=OC

∴△AOP≌△OCD（AAS），
∴OP=CD，
∴DB=PC=t-4，
∴

4

t-4

=

t

4

，
解得t=2-2

5

（舍去）或t=2+2

5

，
∴P₂（2+2

5

，0）．

③点P在线段OE上时，如图2所示；
∵∠COD+∠ODC=90°，∠HOP+∠APO=90°，∠COD=∠HOP，
∴∠ODC=∠APO，
∵∠ODC＞∠ADB，
∴∠APO＞∠ADB，
∴若△AOP∽△ABD，则

AO

DB

=

OP

AB

，
在△AOP与△OCD中

∠AOP=∠OCD=90° ∠ODC=∠APO OA=OC

∴△AOP≌△OCD（AAS），
∴OP=CD，
∴DB=PC=4-t，
∴

4

4-t

=

-t

4

，
解得t=2+2

5

（舍去）或t=2-2

5

，
∴P₃（2-2

5

，0）．


（4）（2，2），（1

9

16

，3

1

16

），（-

1

16

，

41

16

）；
解：如图3所示：设△AOP绕点M顺时针旋转90°得到△A′O′P′，且P′、A′两点在抛物线y=-

1

6

x²+

2

3

x+4上，
设O′（x，y），则P′（x，y-2），A′（x+4，y）
∴

- 1 6 x2+ 2 3 x+4=y-2 - 1 6 (x+4)2+ 2 3 x(x+4)+4=y

，
解得

x=-1 1 2 y=4 5 8

，
作MG⊥O′A′于G，MH⊥OC于H，设M（a，b），
∵△O′MG≌△MOH，
∴O′G=MH=b，MG=OH=a，
∴

b-a=1 1 2 a+b=4 5 8

，
解得

a=1 9 16 b=3 1 16

，
∴M（1

9

16

，3

1

16

）．

点评：本题是二次函数的综合题型，主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质，全等三角形的判定和性质．