Question

定义〔a，b，c〕为函数y=ax²+bx+c的特征数，下面给出特征数为〔2m，1-4m，2m-1〕的一个函数的一些结论：
①当m=

1

2

时，函数图象的顶点坐标是（

1

2

，

1

4

）；
②当m=-1时，函数在x＞1时，y随x的增大而减小；
③无论m取何值，函数图象都经过同一点．
其中正确的结论有

 

（填写序号）

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：新定义

分析：先根据新定义得到y=2mx²+（1-4m）x+2m-1，当m=

1

2

时，解析式为y=x²-x，然后配成顶点式后可对①进行判断；
当m=-1时，解析式为y=-2x²+5x-3，然后根据二次函数的性质对②进行判断；
把y=2mx²+（1-4m）x+2m-1化为关于m的方程得（2x²-4x+2）m=x+y+1，若函数图象都经过同一点，则2x²-4x+2=0，x+y+1=0，求出x和y的值得到定点坐标，于是可对③进行判断．

解答：解：根据题意得y=2mx²+（1-4m）x+2m-1，
当m=

1

2

时，y=x²-x=（x-

1

2

）²-

1

4

，此抛物线顶点坐标为（

1

2

，-

1

4

），所以①错误；
当m=-1时，y=-2x²+5x-3，对称轴为直线x=-

5

2×(-2)

=

5

4

，则当x＞

5

4

时，y随x的增大而减小，所以②错误；
把y=2mx²+（1-4m）x+2m-1化为关于m的方程得（2x²-4x+2）m=x+y+1，
当m有无数个值时，方程成立，则2x²-4x+2=0，x+y+1=0，
解得x=1，y=-2，
即当x=1，y=-2时，m可取任意数，
所以无论m取何值，函数图象都经过同一点（1，-2），所以③正确．
故答案为③．

点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴直线x=-b2a，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x=-

b

2a

时，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x=-

b

2a

时，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最高点．