Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax²＋bx－7的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点C为抛物线的顶点，且A、C两点的横坐标分别为1和4．

(1)求A、B两点的坐标；

(2)求二次函数的函数表达式；

(3)在(2)的抛物线上，是否存在点P，使得∠BAP＝45°？若存在，求出点P的坐标及此时△ABP的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)因为A、C两点的横坐标分别为1、4，所以点A为(1，0)． 　　又点A、B关于直线x＝4对称，则点B为(7，0)． 　　(2)因为二次函数y＝ax2＋bx－7的图象经过点A(1，0)，B(7，0)， 　　所以a＋b－7＝0，49a＋7b－7＝0，解得a＝－1，b＝8． 　　所以二次函数的表达式为y＝－x2＋8x－7． 　　(3)假设抛物线上存在点P(x，y)，使得∠BAP＝45°， 　　①当点P在x轴上方时，有x－1＝y． 　　所以x－1＝－x2＋8x－7，即x2－7x＋6＝0，解得x＝6或x＝1(不合题意，舍去)． 　　所以y＝－62＋8×6－7＝5． 　　所以点P为(6，5)．此时，S△ABP＝×(7－1)×5＝＝15． 　　②当点P在x轴下方时，有x－1＝－y． 　　所以x－1＝x2－8x＋7， 　　解得x＝8或x＝1(不合题意，舍去)． 　　所以y＝－82＋8×8－7＝－7． 　　所以点P为(8，－7)． 　　此时，S△ABP＝×(7－1)×7＝＝21．