Question

如图，已知抛物线y=x²-2x-3与x轴从左至右分别交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点为D．
（1）求与直线BC平行且与抛物线只有一个交点的直线解析式；
（2）若线段AD上有一动点E，过E作平行于y轴的直线交抛物线于F，当线段EF取得最大值时，求点E的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据x等于零时，可得C点坐标，根据y等于零时，可得A、B的坐标，根据待定系数法，可得直线BC的斜率，根据平行线的斜率相等，可得平行BC的直线的斜率，根据直线与抛物线有一个交点，可得直线与抛物线联立所得的一元二次方程有一对相等的实数根，可得判别式等于零；
（2）根据待定系数法，可得直线AD的解析式，根据E点在线段AB上，可设出E点坐标，根据EF∥y轴，F在抛物线上，可得F点的坐标，根据两点间的距离，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．

解答：解：（1）当y=0时，x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，即A（-1，0），B（3，0）．
当x=0时，y=-3，即C（0，-3）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，直线BC经过点B，点C，得

3k+b=0 b=-3

，解得

k=1 b=-3

，
设平行于BC且与抛物线只有一个交点的直线解析式为y=x+b，
由题意，得

y=x+b① y=x2-2x-3②

，②-①，得
x²-3x-3-b=0，只有一个交点，得
△=（-3）²-4×（-b-3）=0，
解得b=-

21

4

，
与直线BC平行且与抛物线只有一个交点的直线解析式y=x-

21

4

；
（2）y=x²-2x-3，当x=-

b

2a

=-

-2

2×1

=1时，y=

4ac-b2

4a

=

4×1×(-3)-(-2)2

4×1

=-4
即D（1，-4），
设直线AD的解析式是y=kx+b，AD的图象过点A、D，得

-k+b=0① k+b=-4②

，
解得

k=-2 b=-2

，
直线AD的解析式是y=-2x-2，
线段AD上有一动点E，过E作平行于y轴的直线交抛物线于F，
设E点坐标是（x，-2x-2），F点坐标是（x，x²-2x-3），-1≤x≤1，
EF的长是：y=（-2x-2）-（x²-2x-3）=-x²+1
当x=0时，EF_最大=1，
即点E的坐标是（0，-2），
当线段EF取得最大值时，点E的坐标是（0，-2）．

点评：本题考查了二次函数的综合题，利用了直线与抛物线相切，利用了一元二次方程的判别式，两点间的距离公式，二次函数的性质，综合性较强．