Question

1．已知二次函数的对称轴为直线x=2，函数最小值为-4，抛物线与x轴的两个交点之间的距离为6，求此函数解析式（用三种不同的方法）．

Answer 1

分析 根据题意求得与x轴的交点坐标，①设y=ax²+bx+c；②设y=a（x-2）²-4；③设y=a（x-x₁）（x-x₂）．然后把已知点的坐标代入解方程，求出未知系数，最后确定解析式．

解答 解：设抛物线与x轴的交点为（x₁，0），（x₂，0），
∵二次函数的对称轴为直线x=2，抛物线与x轴的两个交点之间的距离为6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}-{x}_{2}=6}\\{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=5}\\{{x}_{2}=-1}\end{array}\right.$，
∴抛物线与x轴的交点为（5，0），（-1，0），
方法一：设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
把（5，0），（-1，0）和（2，-4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{25a+5b+c=0}\\{a-b+c=0}\\{4a+2b+c=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{9}}\\{b=-\frac{16}{9}}\\{c=-\frac{20}{9}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{4}{9}$x²-$\frac{16}{9}$x-$\frac{20}{9}$
方法二：设抛物线为y=a（x-2）²-4，
代入（-1，0）得，0=9a-4，解得a=$\frac{4}{9}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{4}{9}$（x-2）²-4；
方法三：设抛物线为y=a（x+1）（x-5），
代入（2，-4）得，a=$\frac{4}{9}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{4}{9}$（x+1）（x-5）=$\frac{4}{9}$x²-$\frac{16}{9}$x-$\frac{20}{9}$．

点评 本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式和二次函数的性质．二次函数的一般式为y=ax²+bx+c；顶点式为y=a（x-k）²+h，其中（k，h）为顶点坐标；交点式为y=a（x-x₁）（x-x₂），其中x₁，x₂是抛物线与x轴交点的横坐标，能根据条件合理选择解析式．